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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la limitation du degré pour r intégrale 

 générale algébrique de l'équation différentielle du premier ordre . Note de 

 M. AujoN-XE, présentée par M. Jordan. 



« Conservons les notations et définitions de ma dernière Note (24 oc- 

 tobre 1893). Reprenons l'équation différentielle ordinaire H du premier 

 ordre et sa surface représentative S, de degré N, ayant F(3) = o pour 

 équation. Nous supposerons maintenant que parmi les 



N(N='- 2N4-2) 



nodaux de S, il y ait S nœuds. 



» L'intégrale générale de H étant algébrique par hypothèse, les expo- 

 sants des cols sont réels, négatifs, commensurables. En vertu de la même 

 hypothèse il existe sur S un faisceau d'intégrantes découpées par les sur- 

 faces Uc du faisceau 



?(T) = c, 

 c est une constante arbitraire, 

 (p désigne une fonction rationnelle quelconque, 

 T est une fraction rationnelle, homogène, de degré zéro des 



telle que l'expression 



(y=i,2, 3, 4), 



soit divisible par F. 



» Pour c quelconque l'intersection de U^. avec JF comprend une partie 

 fixe et une partie !<., que j'appelle intégrante générale. I^. est mobile avec c 

 et constituée par une ou plusieurs intégrantes indécomposables G, G', 

 G", .... La partie fixe de l'intersection n'est pas forcément formée d'inté- 

 grantes. Une partie indécomposable G de l'intégrante générale ne passe 

 par aucun col et par S' nœuds, S'$S. 



» Soient pour la courbe G : 



n le degré; 



/) le genre ; 



A le nombre des tangentes qui rencontrent une droite donnée de l'espace; 



S le nombre des points doubles apparents. 



