( >3:^ ) 



» Appelons aussi : 



K= I +.— , l'exposant d'un nœud, exposant pris de façon à surpasser 



l'unité; / et m sont deux entiers positifs premiers entre eux; 



y (M) le nombre 



(M + i)(M + 2)(M + 3) _ 

 6 ' 



des paramètres afférents à une surface de degré M. 



» En un nœud G possède /• cycles (au sens d'Halphen) ; l'ordre de chacun 

 est m; la classe de chacun est /, pour l'^m^ et m, pour / >> m. Les rm bran- 

 ches ont même })lan osculateur (plan tangent à S au nœud) et même tan- 

 gente (une des deux asymptotes de l'indicatrice de i^). Deux quelconques 



des rm branches ont ensemble un contact d'ordre 



m 



» En exprimant que G est située sur S on a l'inégalité 



(i) S<W(N)-h "^'',7^^ -nN. 



» Cherchons maintenant le nombre A des points sur G, qui satisfont à 

 une relation infinitésimale donnée Î2, d'ailleurs quelconque. On peut évaluer 

 successivement A en considérant G comme isolée dans l'espace ou comme 

 située sur la surface S . Egalant les deux expressions de A, on trouve 



(2) nN = A + 2/-/77, 



la sommation s'étendant aux S' nœuds situés sur G. Il est assez remar- 

 quable que (2) soit indépendant de la nature particulière de £2. 

 » Enfin, 2 ayant toujours la même signification, 



(3) A = n{n — i) — 2<^ — i;;V/«(/-f- m)-^1r(l+m), 



(4) 2(/j-i) = /z(N-2)-2r. 



» La combinaison de (i), (2) et (3) fournit l'inégalité 



(5) n(N+ ■2)<i^'{^) + lr-m{l+ m)~lr(l-h im). 



)) Ainsi le degré n est limité dès qu'on limite les entiers /■, c'est-à-dire 

 le nombre de cycles que G possède en un nœud. Si S est dépourvue de 

 nœuds, tous les /• sont nuls, et l'on retrouve pour n le maximum [NJ de 



C. R. , 1S93, I" Semestre. ( T. CXVI, N» 4.), 1° 



