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 ma dernière Noie. Dans le cas général, on aura besoin, pour limiter les r, 

 de connaître les allures de la surface U^ aux divers nœuds de S. 



)> Dès que les S entiers r de S sont limités, on n'aura plus qu'à appli- 

 quer la formule (5) aux divers groupes E de S' nœuds choisis parmi les S 

 nœuds de J", S''S S. 



» L'étude de la surface U^ fera l'objet d'une Communication ultérieure. 

 Pour le moment, je me bornerai à citer un cas où la connaissance du genre 

 suffit pour limiter le degré n. 



» Appelons, pour un groupe E défini ci-dessus, ij. le plus petit des nom- 

 bres l -h m et s l'entier immédiatement supérieur à un exposant. Il pourra 

 exister un entier M tel qu'on ait à la fois 



(6) ¥(M)>2* 

 et 



(7) M<KN-2). 



Alors le degré n de l'intégrante G, qui passe par les nœuds du groupe E, 

 ne peut dépasser 



*■ ^ :^ M' 



s'il y a plusieurs entiers satisfaisants aux inégalités (6) et (7), on prendra 

 le plus petit. 



)) Pour un degré limité, la construction effective des intégrantes s'ob- 

 tiendra par les procédés indiqués dans ma Note du 22 février 1 892, lesquels 

 ne sont pas modifiés par l'apparition de points multiples. 



1) Les formules (i) à (8), exactes pour c quelconque, peuvent être en 

 défaut pour un nombre fini de valeurs remarquables de c. Suivant une re- 

 marque déjà faite par M. Painlevé, les intégrales particulières algébriques 

 sont moins aisées encore à trouver que l'intégrale générale algébrique. 



» Dans le cas particulier où la surface S serait unicursale, l'intégration 

 de H serait équivalente à celle d'une équation H' du premier degré et les 

 présents résultats ne différeraient pas au fond de ceux qui ont déjà été 

 découverts pour H' par MM. Poincaré et Painlevé. » 



