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une équation 



(3) x = g{.T .r„,/,a), 



qui définit, d'après un théorème de M. Lie ('), un groupe de transforma- 

 tions de a en r, aux paramètres x,, . . . , x„. Il en résulte d'abord, suivant 

 les résultats bien connus de M. Lie sur les groupes à une variable, que n 

 est égal à 1 , 2 ou 3. 



» Réduisons ensuite ce groupe à sa forme canonique : cela se fera par 

 un changement de variables 



(4) a7 = o(X,0. a = 9(A,0. 



et le calcul de ç nécessite : dans le cas de n = \ , une quadrature; dans 

 les deux autres, uniquement des éliminations (-). Si l'on pose en même 

 temps 



a-, =9(X,, /), 072 = 9(X„,«)< ^3 = ?(X3»0' 



on obtient, à la place de (a), l'une des trois relations suivantes 



(5) 



X = A + P(X,,0, 



x = AP(x,,x,,o + Q(x,,x„o, 



AP(X„X„X3,0 + Q(X,,X,.X3,0 

 AK(X,, X^, X3, H- S(Xi, Xa, X3, o' 



où A est une fonction connue de t et de a. 



)) Si, de plus, on tient compte de ce que, pour des valeurs particulières 

 de a, X doit se réduire à x^, x^, x^ et, par conséquent, X à X,, X,, X3, 

 on voit que les formules (5) peuvent s'écrire respectivement 



(6) |è^=''^^'''^^' 



x^x:-x^ = H«.o- 



» En résumé, par le changement de fonction (4), l'équation 0) se 



(') Voir â ce sujet noire solution d'un problème analogue dans les Annales de 

 l'École Normale (janvier 1898). 



(') S. Lie, Berichte der Kônigl. Sdc/is. Geselhchaft der Wiss., 1889. 



