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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur /es équations différentielles d'ordre supérieur 

 dont Vintégrale n admet qu'un nombre donné de déterminations. Note de 

 M. Paul Painlevé, présentée par M. Picard. 



« Je me propose, dans cette Note, de résoudre le problème suivant : 

 » Etant donnée une équation du second ordre 



(-) V\y\y,Y,{x)]=o, 



algébrique en y", y', y, reconnaître si l'intégrale générale y {x) de cette équa- 

 tion ne prend qu'un nombre donné n de valeurs autour des points critiques mo- 

 biles (en admettant essentiellement que cette intégrale dépende algébri- 

 quement des constantes "Ko, y\). 



» Au lieu de l'équation (i), on peut aussi brien considérer le système 



(2) §1 = ?[7, =, t, < .r)], ^; .. ^y, z, Z, (,v)], 



où cp et I désignent des fonctions rationnelles des variables y, z, t liées 

 par la relation algébrique 



xb.-.^('^-)]==o. 



M Pour plus de clarté, traitons d'abord la question dans le cas particu- 

 lier où 9 et 4- sont rationnels en y, :; et où « = i. Nous supposons qu'on ait 

 fait subir aux variables v, z la transformation homographiquc la plus géné- 

 rale de façon à supprimer toute difficulté relative aux points à l'infini. Il 

 nous faut reconnaître si l'intégrale du système 



/3\ f(x ^ Q[r.-.(-^')] dz ^ R[.y,s,(x) ] 



^ c?x P[/,3,(x)]' da: \'[r,z,(-v)] 



a ses points critiques fixes. La même question, pour les équations du pre- 

 mier ordre y' ~ (p[ v, (x)\, se résout facilement : y doit être une fonction 

 uniforme de y^ et réciproquement; on en conclut que j et j„ sont liées 

 linéairement et que l'équation est une équation de Riccati. Dans le cas 

 actuel, les résultats sont bien différents; on a à la fois 



I - =T[j„,5„,(j7„),(,-r)], 



/5 s, iyo=^t[y,z,(x),(x„)], 



\ Zo = T„[j, s,(a;),(>r„)], 



mais les équations (4) et (5) peuvent définir une transformation de Cre- 

 mona quelconque du plan y, z dans le plan y„, s„. 



