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» Toutefois, on arrive à limiter le degré q auquel ^o» ^o figurent dans S 

 et T de la manière suivante : les deux courbes S =/, T = s du plan 

 (y„, 5o) se coupent en q- points ¥„, Zj,. Si l'on excepte le point v„ = S^, 

 z^ - T(,, ces points ¥(,, Z„ <loivent faire partie des points d'intersec- 

 tion des deux courbes P„ :^ P[y, s, (a7„)] = o, Q,, EEEQ[r, s, (a^j,)] ^ o, 

 RflEEs R[y, z, (iTo)] = o. Il suit de là tiue, a;„ étant choisi arbitrairement, il 

 doit exister au moins un point Yq, Zo commun aux courbes P,, =: o, Q„ = o, 

 R„ == o, tel qu'une infinité d'intégrales /(a;), z{x), dépendant d'un para- 

 mètre, prennent en a;„ les valeurs Y„, Z„ ; en étudiant dans le voisinage 

 de chaque système y^, Y„, Zq ces intégrales qui sont régulières, on déter- 

 mine le nombre des points d'intersection de S =.r, T = z-, confondus en 

 Yii, Z„ : d'où une limite supérieure y, de q. 



» I^a même méthode s'applique au problème général, à condition de 

 comprendre parmi les points remarquables Y^, Z„ ceux qui correspondent 

 aux valeurs égales de la fonction algébrique y" définie par (i); ces points 

 se mettent aisément en évidence. On parvient ainsi à ce théorème : Si 

 r intégrale de (i) répond aux conditions énoncées, elle vérifie une équation 

 de la forme 



y" + R„_, [v„,y„, (x,), (-r )]/'-' ^ . . . -t- R„fv„,7'„, (^„), {x)] = o, 



où les R, sont des fractions rationnelles de y^, y„ de degré connu q. Il ré- 

 sulte de là qu'on sait reconnaître algébriquement si l'intégrale générale de 

 (i) [ou de (2)] ne prend qu'un nombre donné n de valeurs autour des points 

 critiques mobiles. 



» Mais quelles opérations exigent alors la détermination de cette inté- 

 grale? Pour le voir, on suit une marche analogue à celle que j'ai indiquée 

 pour le cas du premier ordre; on commence par ramener l'équation (i) à 

 une équation dont les points critiques sont fixes en substituant à y une 

 fonction rationnelle de j'", y', y, soil r\y" ., y' , y , (x)] : cette transformation 

 s'effectue algébriquement, une fois q limité. Appelons S la surface algébrique 

 définie par la nouvelle équation 



(0' /[r",r',r,{x)] 



entre r", r' , r, quand x est constant. 



I) Dans ses mémorables travaux sur les surfaces algébriques, M. Picard 

 a étudié le cas où le genre w de S est plus grand que i , et le cas où, a étant 

 moindre que 2, la surface possède des différentielles totales de première 

 espèce. Combinés avec ceux de M. Picard, les résultats que j'ai exposés 

 au début de celte Note permettent d'épuiser complètement la question. 



