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» Voici les cas qui peuvent se présenter ; 



» i" La surface S n'admet qu'un nombre fini de transformations ijira- 

 tionnelies en elle-même. L'équation s'intègre algébriquement. 



» 2° S admet un faisceau continu de telles transformations, mais tj est 

 plus grand que i . L'équation s'intègre par une quadrature. 



« 3° Les coordonnées de S sont des fonctions uniformes à quatre pé- 

 riodes de deux paramètres (w = i). Ce cas a été traité en détail par 

 M. Picard. L'équation s'intègre par quadratures. 



» 4° Les coordonnées de S s'expriment rationnellement (d'une manière 

 univoque) en fonction de X, vR(X), [j., v^R'(p.), R et R' désignant deux 

 polynômes du quatrième degré en X et i^. (cr = r). L'équation s'intègre à 

 l'aide de deux quadratures. 



)) 5° r.es coordonnées de S s'expriment en fonction univoque de >., v^R(^) 

 et [j. (cT = o). L'équation se ramène par une quadrature à une équation de 

 Riccati. 



» 6° La surface est uniformément unicursale. Ce cas est le plus défavo- 

 raljle. On montre qu'une transformation algébrique ramène l'équation (iV 

 à une équation dont l'intégrale générale u(x) est de la forme 



A>|;(x)-t-B4-,(a;)-{-J/2(ar)' 



autrement dit à une équation linéaire et homogène du troisième ordre, 



» En définitive, on sait reconnaître si l'intégrale de (i) ne prend qu'un 

 nombre connu n de valeurs autour des points critiques mobiles {et dépend algé- 

 briquement des constantes) : l'équation s' intègre alors algébriquement, ou par 

 quadratures, ou se ramène auv équations linéaires du troisième ordre. Si 

 notamment a? ne figure pas dans (i), l'équation s'intègre algébriquement 

 ou par des quadratures dont l'inversion donne naissance à des fonctions 

 périodiques. 



» Ce théorème s'étend à une équation différentielle d'ordre quelconque. 

 » Quand n n'est pas donné, la correspondance rationnelle qui existe 

 entre (i) et (i)' permet de trouver algébriquement ou par quadrature au 

 moins une intégrale première de (i), sauf dans le cas où S est uniformé- 

 ment unicursale. Mais dans ce cas, comme pour le premier ordre, la con- 

 sidération des intégrales particulières multiples que contient l'intégrale 

 générale permet de pousser plus loin l'étude de la question. Certaines 

 propriétés des intégrales premières auxquelles on est ainsi conduit s'ap- 

 pliquent même aux équations dont l'intégrale renfermerait les constantes 

 d'une façon transcendante. Je reviendrai prochainement sur ces équations 



