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" (le sont les invariants relatifs à celte transformation tle l'équation. 



)i Les expressions précédentes, égalées à zéro, donnent les conditions 

 nécessaires et suffisantes pour qu'une équation soit équivalente à son ad- 

 jointe de Lagrange; la démonstration du résultat précédent s'en déduit : 

 si une équation E est équivalente à son adjointe E,, réciproquement, 

 l'équation E, est aussi équivalente à son adjointe; les équations qui écri- 

 vent cette équivalence ne doivent donc pas changer, à un facteur près, 

 quand on passe d'une équation à son adjointe. Ce facteur est — i, comme 

 on le vérifie immédiatement. 



» Si l'on met l'équation (i) sous la forme 



p.^, />,j. ...,/?„ étant des fonctions quelconques de x, parmi les invariants 

 dont je viens de parler, on trouve 



3//, -2/^;,, 



qui, sous le nom d'invariant i-, joue un rôle capital dans le célèbre Mé- 

 moire de M. Halphen, sur la réduction de ces équations aux formes inté- 

 grables (' ). 



» J'abandonne, pour un instant, le sujet principal pour indiquer un 

 résultat tiré de cette considération : 



» Quand une équation du troisième ordre est équivalente à son adjointe de 



Lagrange, on peut la ramener facilement à une équation du deuxième 



ordre (-). 



» Soil 



d'z d'-z dz 



l'équaliou, x étant la variable indépendante; je prends une nouvelle va- 

 riable X liée à l'ancienne par 



dX __ _i_ 



(') Halphen, Mémoires de l'Institut {Scn'ants étrangers), t. XXVIII. 

 (-) Au sujet de ces équations, voir Darboux, Leçons sur la théorie des surfaces, 

 i. H. 



G. K., 1893, 1-' Semestre. (T. CXVI, N°5.,i ^-l 



