( 454 ) 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une équation aux dérivées partielles; 

 Note de M. Emile Picard. 



« On sait le rôle très important que joue en Analyse et en Géométrie 

 l'équation aux dérivées partielles 



(.) w-*w = '■''■ 



où k désigne une constante positive. Les problèmes classiques relatifs 

 aux fonctions harmoniques se posent pour les intégrales de cette équa- 

 tion. J'ai montré comment on pouvait les résoudre en supposant même 

 que le point (x,y), au lieu de rester sur un plan simple, se déplace sur 

 une surface de Riemann. On doit toutefois jusqu'ici se borner au cas d'une 

 surface de Riemann ouverte, c'est-à-dire ayant un bord; des difficultés 

 subsistent relativement à la surface /<?TO?ee. Je crois avoir réussi à les lever : 

 c'est ce que je vais exposer succinctement en me restreignant au cas du 

 plan simple. La considération d'une surface à plusieurs feuillets, au lieu 

 du plan, n'introduit pas d'ailleurs de sérieuses complications. 



» 1. On veut démontrer l'existence d'une solution de l'équation (i), 

 fonction bien déterminée de x et y, et en général continue, sauf aux 

 points O,, O2, . . ., 0„ et au pointa l'infini. On suppose que, dans le voisi- 

 nage de O,, la fonction puisse se mettre sous la forme 



l^ilogri-hVi (i = i, 2, .. ., «), 



p, étant une constante, r, désignant la distance du point (x, y)nn point O,, 

 et la fonction v^ étant continue en O,. 



/, 



» Pour le point à l'infini, on suppose que, en posant r = \x- ^y-, la 

 fonction se mette sous la forme 



— alogr-f- V, 



V étant continue à l'infini, et x désignant une constante. Nous faisons les 

 hypothèses 



p,.>-2 (j =1,2, ...,«), y->-2 

 et, de plus, 



(2) 7.+ ^,-|-p,+ ...^<0. 



