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» 2. La démonstration repose sur un emploi convenable du procédé 

 alterné, dont M. Schwarzafait un si heureux usage dans l'étude de l'équa- 

 tion de Laplace, mais il est nécessaire de mettre en évidence deux lemmes 

 indispensables. Nous énoncerons le premier en nous plaçant dans le cas 

 le plus simple. Considérons deux cercles concentriques C et C, de rayons 

 R et R' (R>R'), et soient deux intégrales de l'équation (i), continues 

 dans C et prenant respectivement sur cette courbe les valeurs constantes 

 A et B. Sur le cercle C les intégrales jM-endront les valeurs A' et B', et 

 l'on peut, étant donné un nombre H, trouver un nombre q plus petit que 

 l'unité, de telle sorte que 



|A'-B'|<:|A-B|-y, 



pourvu que A et B ne soient pas inférieures (il s'agit de la valeur relative) 

 au nombre H; la démonstration de ce point suppose essentiellement 

 k^ o. 



» Passons au second lemme, qui est immédiat. Considérant un contour 

 quelconque C, ayant à son intérieur les points O,, O^, . . ., 0„, j'envisage 

 l'équation 



Av = /cr^^'rl'-...rl"e\ 



Soit £ un nombre positif fixe aussi petit qu'on voudra. Si les valeurs 

 d'une intégrale v continue à l'intérieur de C sont, sur ce contour, infé- 

 rieures à un nombre convenable H, on aura, à l'intérieur de l'aire, 



i>' désignant la fonction harmonique prenant sur C les mêmes valeurs 

 que ç, et v) désignant une fonction positive qui est inférieure à s. 



» 3. Revenons maintenant au problème proposé. Nous prenons deux 

 cercles concentriques C et C, de rayons suffisamment grands R et 

 R'(R > R')> contenant à leur intérieur les points O,, . . ., 0„. 



» Toutes les fonctions que nous allons considérer satisfont à l'équa- 

 tion (i). On part d'une première fonction m,, définie dans C, ayant les 

 singularités données en O,, O^, . . ., 0„ et prenant sur C des valeurs com- 

 prises entre G et II (II < G). Cette fonction m, prend certaines valeurs 

 sur C; on forme une fonction v^ définie à l'extérieur de C, ayant la singu- 

 larité donnée à l'infini et prenant sur C les mêmes valeurs que u^. Cette 

 fonction c, prend certaines valeurs sur C; on forme alors une fonction u.., 

 définie dans C, ayant aux points O les singularités données, et prenant 



