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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les systèmes cV équations différentielles 

 linéaires du premier ordre. IN^ote de M. Helge vox Koch, présentée nar 

 M. Poincaré. 



« Dans un Mémoire publié dans les Acta mathematica (I. XV et XVI), 

 j'ai étudié quelques problèmes relatifs à l'équation linéaire 



(les P désignant des fonctions analytiques quelconques). Dans cette étude, 

 qui avait pour point de départ un théorème de M. Poincaré sur la conver- 

 gence de déterminants infinis, je supposais P, = o car, dans le cas con- 

 traire, le théorème de M. Poincaré n'aurait pas été applicable. Mais celte 

 restriction ne nuit pas à la généralité du problème puisqu'on peut toujours, 

 dès que n^2, ramener l'équation considéi'ée à ce cas par une transforma- 

 tion simple et bien connue. 



» Il n'en est pas de même quand on généralise la question en se propo- 

 sant d'étudier un système d'équations simultanées du premier ordre 



(2) '-^■ = P,-,j, 4-...-t-P,„.y„ ■(i=ï,i,...n). 



» Il est vrai qu'on pourrait, par des dilférentiations et des éliminations 

 convenables, ramener l'étude du système (2) au cas d'une seule équation 

 linéaire. Mais cette méthode introduirait des difficultés étrangères au pro- 

 blème primitif. Il faut donc essayer de traiter le système (2) directement, 

 sans transformations préalables, et pour cela il faut tout d'abord chercher 

 un critère de la convergence de déterminants infinis qui pourrait nous 

 servir pour point de départ. 



» Soient A^ (/, X- = — oo. . . 1- oc) une double infinité de quantités don- 

 nées; supposons que le produit 



n = n, A„ 



soit absolument convergent, et formons une infinité de produits nou- 

 veaux en permutant dans n les premiers (ou seconds) indices des fac- 

 teurs A,, de toutes les manières possibles; enfin, formons avec tous ces 

 produits une série infinie, en prenant chacun d'eux avec le signe -h ou le 



