( .80 ) 



signe —, suivant qu'il se déduit du produit initial par un nombre pair ou 

 impair de transpositions. Si cette série a une valeur A finie, déterminée et 

 indépendante de l'ordre des termes, nous conviendrons de dire que le dé- 

 terminant des éléments A,^ est convergent et a pour valeur A. Nous dési- 

 gnerons ce déterminant par le symbole 



A = v(±n,\,v). 



» Cette définition est, comme on voit, différente de celle qui a été don- 

 née par M. Poincaré (^Bulletin de la Société mathématique de France, 

 t. XIV). Il est facile de démontrer que, si un déterminant infini est con- 

 vergent d'après la définition précédente, il l'est aussi d'après celle de 

 M. Poincaré; mais la réciproque n'est pas nécessairement vraie. 



» En adoptant cette définition, 'qui parait être la généralisation la plus 

 directe de la définition d'un déterminant fini, et en posant 



A,7 = I + 0/„ A,-^ = ftij (i^j)< 



le théorème de M. Poincaré prend la forme suivante : 



)) Pou7' que le déterminant des A,v( converge, il suffit que les séries 



-,|«'V|' 'l:i\^i. 



soient convergentes. 



M Comme nous l'avons déjà fait remarquer, ce théorème peut servir 

 dans l'étude de l'équation (i) si l'on suppose P, = o. Si, au contraire, ou 

 ne fait pas cette restriction ou, plus généralement, si l'on veut étudier le 

 système (2), il faut avoir recours au théorème suivant : 



» Pour que le déterminant des A,/;, converge, il suffit que les séries 



( 3 ) '^i I On I , li,jj, I a,j ttj^ I . i;,, ,,^,/ 1 a,j Ujt, a,,i | 



soient convergentes ( ' ). 



» Ce théorème, qui embrasse celui qui précède comme cas particulier, 

 n'est lui-même qu'un cas particulier d'un théorème général. Toutefois, je 

 me bornerai ici àdémontrer le théorème ainsi particularisé (-), puisqu'il 

 suffit pour le cas du svstème (2). 



{ ' ) Dans le cas où toutes les séries Sy ] ff,y | ou toutes les séries 2, | oij \ convergent 

 et ont des valeurs plus petites qu'une quantité donnée, on voit immédiatement que la 

 convergence de la deuxième des séries (3) entraîne la convergence de la troisième. 

 C'est le cas qui se présente dans l'étude du système (2). 



{'-} J"ai démontré le théorème général dans une Communication verbale faite à la 

 Société mathématique de France (séance du 16 novembre 1892). 



