( i8. ) 



» Pour io démontrer, remarquons que chaque terme II' de la série A se 

 déduit de n par la permutation de certains indices ?; donc, d'après un 

 théorème connu, on peut obtenir n' en partageant les facteurs A„ en 

 groupes convenables et en permutant ensuite circiilairement les indices 

 appartenant à chaque groupe. Or, on voit sans peine que chaque terme 

 ainsi formé se retrouve (pris, suivant les cas, avec le signe + ou — ) 

 parmi les termes de la série qu'on obtient en développant d'une manière 

 convenable le produit suivant : 



U,- (i -+- au + Ij^^nijUji, -+- Ij^^^ia^jUj^aki). 



» Ce produit est, d'après l'hypothèse faite sur les séries (3), conver- 

 gent même si l'on v remplace tous les a^^ par leurs valeurs absolues; il en 

 sera donc de même de son développement et, a fortiori, de la série A. Le 

 théorème est donc démontré. 



» En prenant ce théorème pour point de départ, on peut obtenir la 

 représentation analytique des intégrales et des invariants du système (2) 

 et les étudier, au point de vue de la théorie générale des fonctions, 

 d'après une méthode analogue à celle qui, dans le Mémoire cité plus 

 haut, se trouve développée pour le cas d'une équation linéaire 

 d'ordre n. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la théorie des fonctions sphériques. 

 Note de M. E. Beltrami, présentée par M. Hermite. 



« En cherchant à exposer de la manière la plus simple et la plus géné- 

 rale la théorie des fonctions sphériques, j'ai défini comme telle de l'ordre/* 

 luie fonction 9(^, ■/), s) des trois cosinus ^, ri, Z, d'un rayon, qui : i'^ est ho- 

 mogène de l'ordre /zen ces variables, et 2" satisfait à l'équation de J.aplace 



()2ffl (}2(p d-o Ti ' i 1 1 ■-• • ../■.• 



^p -\ — —^ -h -T^ = 0. 11 s agit alors de caractériser cette fonction par rap- 

 port à deux variables indépendantes, telles, par exemple, que C et w, en 

 posant, comme d'habitude, 



Ç:=coswy/[ — ^-, ri = sino}Y'i — "Ç- . 



Or, quelle que soit la fonction o, on a 



'Il — ■; Ù -■ ^ 



