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où la caractéristique d se rapporte aux deux variables indépendantes et où 

 le symbole F(©) représente l'opération 



d <) y d 



Ui Or, di, 





En considérant les deux membres des équations précédentes comme les 

 résultats d'opérations effectuées sur la fonction F(Ca)), ou F(E, r,, i^), et 

 en réitérant ces opérations, on arrive, par des transformations bien 

 simples, à ces autres formules 





-F-((p)+2C^,-^, 



où F-(o) est la même chose que F[F(<p)]. En ajoutant les deux dernières 

 égalités, on arrive ainsi à cette autre égalité 



d'où, en introduisant les deux conditions de défiiiilion, 



„, s d^o d-o d-^a 



F(?) = «?. ^ + ^.+ ;jçt = '^' 

 l'on tire immédiatement l'équation bien connue, 



d r / '/o \ </'i 1 \ d-o , , 



f/Ç [^ ' dX. I — ^- f/w- ^ ' 



On reconnaît en même temps, sans qu'il soit nécessaire d'invoquer au- 

 cune espèce d'évidence, que l'expression 



d_ 



( 1 



'' ' dty x~-ç- fAo^ 



est un invariant différentiel de direction, puisque les deux expressions 



ne changent pas, quelle que soit la série des axes orthogonaux des^, r,, "(. 

 Il s'ensuit que la fonction sphérique spéciale qui ne contient que la va- 

 riable "C ne fait que rentrer dans le type général lorsqu'on déplace ces axes. 



