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THÉORIE DES NOMBRES. — Sur un théorème de M. Stieljes. Note de M. Cahen, 



présentée par M. Picard. 



« Dans une Note que j'ai eu l'honneur de présenter à l'Académie dans 

 sa séance du 23 janvier dernier, j'ai démontré le résultat suivant, énoncé 

 par M. Halphen : La somme des logarithmes des nombres premiers qui ne dé- 

 passent pas X est asymptotique à x. 



» Ce résultat permet de démontrer le théorème suivant, énoncé, mais, 

 je crois, non démontré par M. Stieljes : 



H Le nombre des nombres premiers compris entre x et (^\ -\- h)x, quelque 

 petite que soit la constante h, va en croissant indéfiniment avec x. 



M En effet, d'après le théorème de M. Halphen, la somme des loga- 

 rithmes des nombres premiers compris entre (i -f- h)x et x est égale à 



(i -h h)x{i + k') — x{i -t- A), 



A et A' tendant vers zéro quand x croit indéfiniment, c'est-à-dire à 



x{h-^K + k'h -A). 



)) Le nombre de ces nombres est donc plus grand que 



x(h + k'+k'h — k) 

 Jog(i H- h)x 



expression qui croît indéfiniment avec x. 

 » Mais ce nombre est plus petit que 



a;(A + A'-+-A'/i- A) 



loga; 

 » Donc la fréquence de ces nombres est plus petite que 



/i-h A' + A'/t- A 

 loga; 



et, par suite, tend vers zéro. » 



