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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Intégration des systèmes d' équations différen- 

 tielles linéaires à coefficients constants. Note de M. Vaschv, présentée par 

 M. Sarrau. 



« La méthode suivante, qui présente une grande analogie avec le pro- 

 cédé classique de résolution des équations algébriques du pi'cmier degré, 

 permet, par l'application d'une règle simple, d'intégrer dans tous les cas 

 possibles un système d'équations linéaires et à coefficients constantsd'ordre 

 quelconque. 



» Soit, par exemple, à intégrer le système de n équations à n inconnues 

 oc^, X2 x,,, sans seconds membres, 



(0 



/.i^i +-/22^'2 + ...4-/.„a;„ = o, 



Jai -^l +./h2^2 1~ • • ■ ■+"/n/i^n — O, 



f\\^f\iy • • 1 fnn désignant des facteurs symboliques de la forme 



/,, = «o + a,^^-ha,^, +... + a,^, 



où a„, rt|, . . ., cf/i sont des constantes. Nous appellerons F le déterminant 

 des n- coefficients/, ,, /la, . . ., /„, et, suivant une notation usuelle, F^, le 

 mineur obtenu en supprimant la ligne h et la colonne i, ^ ki,ki le mineur 

 du second ordre obtenu en supprimant les lignes h et k et les colonnes i 

 et /, etc. Nous aurons du reste à considérer simultanément les polynômes 

 algébriques/, (a), F (x), F^,(a), . . ., déduits des facteurs symboliques/,,, 

 F, F/„, . . ., en y remplaçant les dérivées par les puissances correspondantes 

 de a; ainsi 



Jhi{'^-) - a„-h a,a i- a.^'x- +. . .-1- a/^cf.'' . 



» En multipliant les n équations (i) respectivement par F,,, F,,, . ., F^, 

 et ajoutant membre à membre, on trouve Yx^ = o. Donc, si le détermi- 

 nant F n'est pas identiquement nul, x^ et, de même, x^, x^, ..., x^ doivent 

 satisfaire;! l'équation différentielle linéaire à coefficients constants Fir = o. 

 Il en résulte que les inconnues x^, x^, . . ., x„ sont de la forme 



P,e».'-1- P,e«^'-l-...+ P,e°'.', 



