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a,, aj X, désignant les racines de l'équation caractéristique F (x) = o, 



et P,, Pj, . . ., P, des polynômes entiers en i. On est ainsi conduit, pour 

 avoir la solution générale des équations (i), à calculer successivement une 

 solution de la forme 



(o) ^, = P,,e«.', ^, = P„e«.', ..., ^„ = P„,e^% 



qui correspond à la racine a,, puis les solutions analogues qui corres- 

 pondent aux racines aj, . . ., a„, et à ajouter toutes ces solutions. Le pro- 

 blème est donc ramené au calcul des polynômes P,,, P,,, .... P„,. 



» Considérons d'abord le cas général où la racine o,, du polynôme F (a) 

 n'appartient pas à la fois à tous les mineurs du premier ordre F,, (a), 

 F,3(x), ..., F„„ (oc) ; soit, par exemple F,, (a,)^o. On démontre alors que 

 les fonctions (2) ont la forme suivante : 



(3) J où 



u = (Cj,_, t^^' + C^-U'^-^ + . . . ^ C, / + C„)e«.' = n, e' 



.«. ' 



[A désignant le degré de multiplicité de la racine a, , et les a coefficients du 

 polynôme H, étant des constantes arbitraires. Le calcul des polynômes 

 P,,, P,,, . . ., P„, se fera très simplement par les formules (3), en fonction 

 de ces u constantes arbitraires. 



» T)?in?>\e cas particulier où les rr mineurs du premier ordre F,, (a), 

 F, 2 (se), . . ., F„„(a) admettent tous la racine o.,, soit F,, (a) celui qui ad- 

 met cette racine au moindre degré v de multiplicité. Alors F,, (a), F,o(a), ..., 

 F,„(a) s'annulant, ainsi que leurs (v — i) premières dérivées, pour a :=a,, 

 les V constantes arbitraires C^, C,, ..., C^-, disparaissent dans le calcul 

 de Xf, Xo, . .., x„ par les formules (3). Ce calcul, commencé par les for- 

 mules (3), doit alors être complété, comme il suit, par l'introduction 

 d'une nouvelle fonction P' à coefficients arbitraires : 



X f — r I j u, x-2 — r j 2 w ~H r ( ^ 2 2 » ^3 — 13 "• m23' ••■, 



(; = n;Ê«.' = (Cv_,i''-' -+- C,_2i"'-' -i-...4-Co; <?«.'. 



si l'un des mineurs F,, 22(^)' F,, jsC*)- •••. F,, 2n(^) n'admet pas la 

 racine a,, le calcul des polynômes P,,> P21 Pm P'»'' ces nouvelles for- 

 mules sera complet. 



