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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur ks transcendantes définies par les équations 

 différentielles du second ordre. Note de M. Paul Painlevé, présentée par 

 M. Picard. 



« Dans une Communication antérieure (voiries Comptes rendus du 20 fé- 

 vrier), j'ai distingué les équations du second ordre 



(1) ^{x,y,y,y") = o 



(où F est un polynôme) en deux classes, une classe générale et une classe 

 singulière, cette dernière formée de toutes les équations qui vérifient in- 

 trinsèquement deux certaines conditions. Ces conditions (conditions I et 

 II du théorème A) sont nécessaires, l'une pour que y {x), l'autre pour que 

 y' (a) puissent être indéterminées en un point x mobile. J'étudierai exclu- 

 sivement dans cette Note les équations dont l'intégrale y {x) ne prend que n 

 valeurs autour des points critiques mobiles . J'appelerai E, et r,^ les points x 

 qui sont des pôles ou àes points critiques dej", quels que soient y et 7' : les 

 points -tij sont des points algébriques àe y{x); les points l se divisent en 

 points l' et l" , qui sont les premiers points transcendants ou essentiels, les 

 seconds points algébriques des intégrales. Si, pour a:o, Jo. JÔ (^0 n'étant pas 

 un point l), une valeur dey" est de la forme ^> toutes les intégrales j (x), 

 répondant à ces conditions initiales, qu'on peut apercevoir, doivent ad- 

 mettre Xg comme point algébrique. 



» Les conditions pour que l'équation soit de la classe singulière sont 

 alors les suivantes : i" des valeurs de y" sont infinies ou se permutent, quel 

 que soit y', pour des valeurs x, y satisfaisant à une relation S^{x, y) = o où 

 figure y; 2" V équation (1), où l'on regarde x comme la fonction, admet, 

 quelque soit x^, l'intégrale x^x^. Enfin, soit a-, 7 un couple de valeurs 

 qui annule S, (ou soit / = ao) : il est impossible, par un changement de 

 variables y^ = (p(a-, y, j') algébrique dans le voisinage des valeurs consi- 

 dérées, de rendre l'équation régulière dans le domaine correspondant. 



» Ceci posé, si l'équation (i) est de la classe générale, l'intégrale y {x) dé- 

 pend algébriquement des constantes y^, y'^. J'ai montré quelle était dans 

 ce cas la nature de l'intégrale. Observons qu'aucune des conditions I, II 

 n'est alors remplie ou qu'elle ne l'est qu'en apparence ( ' ). 



(') Quand on considère, au lieu de (i), un système de deux équations du premier 

 ordre portant sur les fonctions / et - de a:, il peut se faire que l'intégrale renferme 



