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» Sir équation (i) est de la classe singulière, y est une fonction transcen- 

 dante de y ^^^ y\^. Mais deux cas sont possibles. 



» Premier cas : L'inlègrale a ses points essentiels fixes. — Il existe tou- 

 jours alors des points \ ou y; ; autrement l'intégrale serait algébrique. Si 

 nous posons w = S, (^x,y^, y est une fonction à q déterminations de f/o 

 et j[, : J = <p [(■3?), (-^u). "(I' ,y^|, dont les seules singularités essentielles sont 

 «0 = o et y'^^ X. Inversement ;<„ et y[^ sont des fonctions analogues de u 

 et de j''. La variable x^ figure dans <p d'une manière analogue à x. Notam- 

 ment, si j'" est un polynôme eny', y indépendant de x et si l'intégrale est 

 uniforme, on a 



y='f(x-x„,y„y'^), 



o étant holomorphe en x, ^u, J'o, y'o- 



» Deuxième cas : L'intégrale a des points essentiels mobiles. — Ces points 

 (pour une branche d'une intégrale), ne formant pas de suite linéaire, ad- 

 mettent un nombre fini de points limites '(. S'il n existe pas de points c, ou o 

 (ce qui est le cas général), on déduit de là que l'équation (i) possède au 

 moins une intégrale première : a = R(a', u,y'), où R est une fonction à q 

 valeurs de u, y', dont les seules singularités essentielles sont u ^ o, y' ^ 3o, et 

 qui est algébrique en x. 



» S'il existe des points ^, r, , ou bien tous les points !^ sont y&CT et font 

 partie des points c,', ou bien l'écpialion possède au moins une intégrale pre- 

 mière telle que a = R, mais où R est une fonction de x qui peut prendre 

 une infinité de valeurs autour des points fixes ^, v) et présenter les points^' 

 comme points transcendants. S'il n'existe pas de points ^' et si l'intégrale 

 yi^x') est une fonction de x à n valeurs, R est encore algébrique en x. 



» Quant à la recherche des intégrales premières x ^= R, algébriques en x, 

 je me borne à indiquer ici qu'elle revient à l'intégration de certaines équa- 

 tions différentielles ordinaires [sauf dans le cas où une de ces intégrales 

 est de la forme R (i(-,y') = const. J. Un cas important est celui où il n'existe 

 pas deux telles intégrales qui soient distinctes : l'équation ( i ) peut alors se ra- 

 mener, par l'intégration d'une équation de Riccati, à une équation du premier 

 ordre, algébrique en x mais transcendante en y, y' , et dont l'intégrale doit 

 prendre n valeurs autour des points critiques fixes. 



» Que les points essentiels soient fixes ou mobiles, les constantesj'„, jj, 



les constantes d'une façon transcendante, une seule des conditions I et II étant véri- 

 fiée. Mais c'est là un cas de réduction qui se ramène aussitôt au cas où une des l'ono- 

 tions dépend d'une seule équation du jjreniier ordre. 



C. R., 1893, I" Semestre. (T. CXVI, N' 11.) 1^ 



