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Qgurent dans j' de deux façons distinctes, suivant qu'on peut ou non leur 

 substituer deux constantes a. p, telles que y soit fonction algébrique de 

 l'une d'elles. Nous convenons de dire, dans le premier cas, que y est une 

 fonction transcendante d'une seule constante d'intégration. S'il en est ainsi, 

 l'équation (i) se laisse ramener à une équation du premier ordre algébrique 

 en y, y et dont les coefficients sont des fonctions de x qui dépendent d'une 

 équation de Riccati. 



» Pour que l'intégrale de (i) soit une transcendante nouvelle, il faut 

 donc qu'elle renferme les deux constantes d'une façon transcendante : cette 

 condition n'est d'ailleurs pas suffisante. 



» J'insisterai, en terminant, sur les équations à points critiques fixes. 

 Ces équations doivent satisfaire d'abord à certaines conditions algébriques, 

 signalées par M. Picard, et qui expriment que l'intégrale est à apparence 

 uniforme en dehors de certains points fixes. Désignons par (i)' l'ensemble 

 des équations (i) qui satisfont à ces premières conditions. Pour toutes les 

 équations (i)', les conditions I et II semblent vérifiées ; mais il n'en résulte 

 pas qu'elles le soient intrinsèquement. Pour que l'intégrale ait ses points 

 critiques fixes et dépende algébriquement des constantes, il faut et il suffit 

 que les conditions I et II ne soient toutes deux remplies qu'c/z apparence. 

 Si une seule de ces conditions est vérifiée intrinsèquement , l'intégrale a 

 des points transcendants mobiles autour desquels se permutent une infi- 

 nité de valeurs. Pour les équations (r)', dont les points critiques sont 

 réellement fixes, les conditions I et II sont donc ou toutes deux vérifiées 

 en apparence, ou toutes deux intrinsèquement. On sait reconnaître algé- 

 briquement si (i)' est de la première espèce et la ramener alors à une 

 équation linéaire. Quant aux équations de la seconde espèce (classe sin- 

 gulière), il conviendra d'étudier d'abord celles dont les points essentiels 

 sont fixes. A quelles conditions en sera-t-il ainsi? 



» Soit y' = '|„(.r,f/,j') la dérivée d'ordre n de y calculée d'après (i)' ; 

 soit p la distance de x au pointa le plus voisin; il faut et il suffit que 



ait- comme limite supérieure pour /i = cc, si petit que soit \u\ 



y 



ou 

 gra 



y 



Au contraire, on ne connaît aucun moyen d'exprimer que Tinté- ^\ 



e est uniforme autour de points essentiels mobiles. Toutefois, les J 



considérations précédentes, jointes à certains théorèmes surz^^S, {x,y) 

 regardé comme fonction de y' [et sur 7'(«)], permettent parfois de 

 ramener le cas où les points essentiels sont mobiles au cas où ils sont 

 fixes. f 



t 



