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» L'idée première de cette correspondance appartient à M. Moutard ; 

 M. Darboux en a fait ressortir toute l'importance en montrant (') que le 

 problème de la déformation infiniment petite d'une surface S revient à la 

 détermination de toutes les surfaces S, qui correspondent à S par orllio- 

 gonalité des éléments. 



» Au cours de ses leçons à la Sorbonne, M. Darboux a donné deux mé- 

 thodes permettant de résoudre ce dernier problème; nous nous proposons 

 d'en faire connaître une troisième. 



» 2. Supposons que les coordonnées rectangulaires x,y, z d'un point M 

 de la surface S soient exprimées au moyen de deux paramètres a et c ; ap- 

 pelons X,, y,, Zf les coordonnées du point correspondant M,. On a, par 

 hypothèse, 



S dxdx, = dx dx, + dy dy, -+- dz dz, = o, 

 ou 



s(^du+'^d.]ipdu+^-^c 

 \aii <)v J \ Ou oc 



ou encore 



dur S>-, 5-î + dudviS-. r-i+S-T r-^-i-w^S^-3— ! =o. 



ou ou \ ou ov av du / ov ai'i 



» Celte égalité devant avoir lieu quels que soient du et rfc, on en 



conclut 



„ dx dx, 



S-j ^ = o, 



Ou du 



^ -^ ^ du dv di' du 



„ dx dxi 

 oc dv 



Pour intégrer ce système de trois équations simultanées aux inconnues .t, , 

 y,, z,, posons 



c àx -, 



Sx, -3- = H, 



du 



c dx ^ 

 Sa?, ^r- = R. 

 ' dv 



Différentiant ces égalités successivement par rapport à u et à r, et tenant 



(') Société mathématique de France, séance du 17 décembre 1878, et Comptes 

 rendus, mars i883. 



