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 menls à une surface réglée S. Soient 



a; = au -+- ol, 



y = bu + '^, 

 z = eu -+- Y 



les équations de cette surface. Les équations (2) deviennent 



(4) a;,a-{- Ytt> -h z,c = li, 



(5) x,(a'u-h ot')+ Y,(b'u-+- [i') 4- r,(c'a + y') =: K, 



(b) 0= -j-, 



^ ^ Ou 



/ N , /, , I (dn dK\ 



(7) ^'«+^>''^ + ^''^ = H^ + -^J' 



(8) .r. {a"u + oc") + y, (Z*"« + fi") + ^m (c"" + y") = ^• 



» L'équation (6) montre que H est une fonction de v seulement. 



» Éliminant x^, y^, z•^ entre les équations (4), (5), (7), (8), on trouve 



4^ (A(f^ + Bw + C) + ^ D + R(E« + F) + Lm- + Mm Hr N = o, 

 Ou ^ ^ Ov ^ ■' 



A, B, C, D, E, F, L, M, N désignant des fonctions de c. L'intégration de 

 cette équation se ramène à celle du système des équations différentielles 



du dv — ofK 



A ii'^ + B M + C ~ D" ~ K(Eu-i-F) + LH2-+-Ma + N' 



M L'équation qu'on obtient en considérant les deux premiers rapports 

 est précisément l'équation différentielle des lignes asymptotiques de la 

 surface S. Soit 



l'intégrale générale de cette équation. En remplaçant, dans le troisième 

 rapport, u par sa valeur (9), on voit que K vérifie une équation différen- 

 tielle linéaire. On en déduira 



(lo) K = 9(r, X,[J.), 



Y- désignant une nouvelle constante arbitraire. Si l'on établit entremet [j. 

 une relation arbitraire 



(11) [^- = 'K^)' 



et qu'on élimine >. et >j. entre les équations (9), (10) et (i i), on obtiendra 

 l'expression la plus générale de R. » 



G. K., 1890, 1" Semestre. (T. CXVI, N" 13. ) 89 



