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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la possibilité de définir une Jonction 

 par une série entière divergente. Note de M. H. Padé, présentée 

 par M. Appell. 



« Une fonction peut être définie par une propriété telle qu'on puisse 

 obtenir toutes ses fractions rationnelles approchées. Celles-ci forment, 

 comme l'on sait, une suite infinie à double entrée; de cette suite peuvent 

 être extraites, par l'application d'une même loi, une infinité de suites à 

 simple entrée, telles que toutes les fractions d'une même suite soient les 

 réduites successives d'une fraction continue simple; l'une de ces fractions 

 continues simples, celle d'Euler, a pour réduites les polynômes successifs 

 du développement en série de la fonction (' ). 



» De toutes ces fractions continues simples, les unes peuvent être diver- 

 gentes, les autres convergentes ; en particulier, la série peut être convergente 

 ou divergente. 



)) Le premier exemple de cette proposition générale a été donné par 

 Laguerre : la fonction est définie par une équation différentielle linéaire 

 du premier ordre; il en déduit, d'une part, une série qui satisfait, au 

 point de vue formel, à l'équation, et qui est divergente; d'autre part, une 

 fraction continue qui converge vers la fonction. Halphen a donné le second 

 exemple, en ftiisant voir que deux des fractions continues simples rela- 

 tives à v^, X, étant un polynôme du troisième degré, peuvent converger 

 dans une partie du plan, tandis que la série diverge, et diverger en cer- 

 tains points du plan, tandis que la série y converge. Je me propose de 

 reprendre ce second exemple, de maniéi-e à justifier complètement la pro- 

 position générale énoncée. 



» La propriété qui définit la fonction peut être d'avoir pour fractions 

 rationnelles approchées une suite convenable de fractions données a 

 priori; en particulier, pour polynômes approchés, une suite de polynômes 

 composant une série entière, qui, d'ailleurs, peut être convergente ou 

 divergente. Cette propriété permet, en effet, d'obtenir toutes les frac- 

 tions rationnelles approchées de la fonction; de former, par suite, toutes 

 les fractions continues simples qui lui correspondent; et il suffit que l'une 



(') Sur la représentation approchée d' une fonction par des fractions ration- 

 nelles. Thèse de doctoral. Gaulhier-Villars et fils; 1892. 



