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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la représentation approchée des fonctions 

 expérimentales entre des limites données. Note de M. Vallier. 



« M. Tchebychef a fait remarquer depuis longtemps que le dévelop- 

 pement de Taylor, pour la représentation approchée d'une fonction, ne 

 convenait plus dès que la variable s'écartait quelque peu de sa valeur 

 initiale, et démontré qu'il était préférable dans ce cas, en désignant par o 

 la fonction à représenter, et par j l'expression analytique qui doit lui être 

 substituée, de partir de l'équation o —y —f(x-), f{x) représentant le 

 polynôme qui s'écarte le moins de zéro dans les limites considérées. En 

 substituant dans cette équation les n racines de /(a;), on obtient n équa- 

 tions de condition pour calculer autant de paramétres dans la fonc- 

 tion y. Cette fonction, ainsi déterminée, s'écarte moins de la fonction 

 véritable que si ses paramètres avaient été obtenus par toute autre mé- 

 thode. 



» Par suite, lorsque des recherches théoriques et expérimentales ont 

 fait admettre comme licite la représentation de ç par y, l'erreur pouvant 

 se développer suivant une forme parabolique, il conviendra de déter- 

 miner par le calcul ou l'expérience les valeurs de çp correspondant aux 

 racines àe f{x) signalées plus haut, pour en déduire les paramètres 

 de 7. 



» On peut étendre cette règle comme il suit : 



» Reprenant d'abord la recherche du polynôme de degré n, qui s'écarte 

 le moins possible de zéro lorsque x varie de — A à + h, je rappellerai 

 qu'en désignant par / la limite des valeurs qu'il peut atteindre, les deux 

 équations 



(,) {x-^-h-)f{x) = o 



et 



(2) /^-/^(:r) = o 



ont pour racines communes les valeurs de x, pour lesquelles /"( a;) atteint 

 cette valeur maximum, et la théorie des fractions continues donne suc- 

 cessivement 



/(j;) = cos/i arc cos j et /;=/«: 2""'. 



