11 



dafs es Cantor als erstem gelang, die Einführung von aktnal unendlichen Gröfsen (der Ausdruck „aktnal 

 unendlich" rührt von ihm her) in die Arithmetik zu begründen. Er wurde darauf geführt durch Ver- 

 gleichung der Menge der ganzen Zahlen mit der Menge aller Zahlen. Beide Mengen sind unendlich, 

 aber nicht unendlich von derselben Art. Auf dieselbe Unterscheidung von unendlichen Gröfsen ver- 

 schiedener Art führt die Vergleichung des Inhalts von Punktmengen. Fafst man auf einer unbegrenzten 

 Geraden einmal alle Punkte ins Auge, die einen bestimmten gleichen Abstand voneinander haben, sodann 

 die Gesamtheit aller Punkte der Geraden, das sogenannte lineare Continuum, so hat man zwei unendliche 

 Mengen von Punkten, aber beide von ganz verschiedenem Inhalt. Wie kann man den Unterschied 

 zwischen solchen verschiedenen Arten des Unendlich einer festen Begriffsbestimmung unterwerfen? 



Das war die Frage, die 

 sich Cantor vorlegte, 

 und deren Beant- 

 wortung ihm durch 

 Einführung des Begriffs 

 der Mächtigkeit gelang. 

 Er zeigte dann, dafs 

 man gewisse aus den 

 Punktmengen sich er- 

 gebende Unendlich- 

 keitssymbole den Rech- 

 nungsgesetzen unter- 

 werfen kann, und 

 gelangte so zur Ein- 

 führung der transfiniten 

 Zahlen; damit definierte 

 er zugleich die Fort- 

 setzung der ganzen 

 Zahlen über das Unend- 

 liche hinaus. Auf dieser 

 Grundlage baute er die 

 Mengenlehre auf Es 

 waren dabei neue Be- 

 griffe zu bilden, streng 

 abzugrenzen und aus 

 der Operation mit ihnen 

 weitere und weitere 

 Folgerungen zu ziehen, 

 eine Arbeit, die den 

 grüfsten Scharfsinn, 

 hohe mathematische 

 Schöpfergabe und rege 



Phantasie erforderte ; 

 alle diese Eigenschaften 

 besafs Cantor. Er wurde 

 80 der Schöpfer eines 

 ganz neuen Zweiges der 

 Mathematik, er gewann 

 der Wissenschaft eine 

 neue Domäne und be- 

 reitete zugleich durch 

 seine Methoden neue 

 Werkzeuge für die 

 mathematische For- 

 schung. Die Haupt- 

 bedeutung der neuen 

 Disziplin liegt natürlich 

 in den in ihr ent- 

 wickelten Begriffen und 

 den darin aufgestellten 

 Sätzen. Darüber hinaus 

 aber erwies sich die 

 neue Lehre als aufser- 

 ordeotlich fruchtbar 

 auch für andere Gebiete 

 der Mathematik, so 

 zur Aufklärung vieler 

 Fragen der Funktionen- 

 theorie, ja für die 

 strenge Begründung der 

 höheren Analysis und 

 der Geometrie. Der 

 Mengenlehre sind Can- 

 tors Arbeiten in den 



Jahren 1873 — 1897 gewidmet. Später hat er noch weiter gearbeitet, aber nichts gröfseres mehr veröffentlicht. 

 Nicht sogleich wurden Cantors Verdienste gewürdigt: nur wenige, wie Weierstrafs, erkannten die 

 Tragweite der neuen Konzeptionen. Andere ignorierten sie oder verhielten sich direkt ablehnend. So sagte 

 mir im Jahre 1883 ein bedeutender Berliner Mathematiker, der Cantor sehr wohlwollte, es wäre doch 

 nützlicher, wenn Cantor seinen Scharfsinn anderen mathematischen Problemen zuwendete. Er bedachte 

 nicht, dafs sich das Genie seine Bahn nicht vorschreiben läfst. Über solche Ablehnungen und ebenso über 

 eine spätere Kritik Henri Poincares ist die Wissenschaft zur Tagesordnung übergegangen. Immerhin verging 

 einige Zeit, bis die Mengenlehre allgemeine Anerkennung fand. Das ist nicht verwunderlich; brauchen 

 doch neue Ideen oft lange Zeit, um sich durchzusetzen. Schliefslich kam die Zeit der Anerkennung auch 

 für Cantor; seit dem Anfang der neunziger Jahre des vorigen Jahrhunderts begann die Mengenlehre sich 

 siegreich durchzukämpfen. Immer mehr wurden Cantors Arbeiten studiert, immer mehr ihre Bedeutung 



2* 



