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gonnm; llahjserites contortuplicatus; Neritim Roehlii; 

 (iiicrcus dryandraefolia; Acrogader hrericodahm, mitmtus; 

 Bruehyspondi/Ius creiaceus; Charitosoiims formosus; 

 Da.ctylopogon grand/'s: Dermatoptychus macropliihalmus ; 

 Echidnocephalns ti'iiiiicandm, Trosclieli; Enchehirus vll- 

 lomis; Esox Moiiastevietms; Gampsurus dubiiis, Holco- 

 lepbis creiaceus; Iloploptergx (t)diqtms rar. major. 

 gibbuH; Ischyroce2>hahis gracilit:, iidermedhis, macr(i])terus; 

 Isiieus macrocoe/ms, mesoipo/idy/us-; LejdoxoinuH elon- 

 gatm, tcestfaUiyns ; Leptotraclielun ar)iiatu>>, sagittatus; 

 Macliaerophonis npedabiJix; Macrohpis clongatus; Jleso- 

 gaster creiaceus; M/crocoe/ta granulata ; Omosoma Mo- 

 nasterii ; PalaeoscyUium Decheni; Palaeolyciis JJregi- 

 nensü ; Pe/argor/iyiichiis dercetiformis ; PJesioteidhis ar- 

 cuata; P/atycormus germanus, gibbosus, oblongus; Pscu- 

 docrangoH cramcaudm; Sardinioides crasskatidiis, ma- 

 cropterygiun. microcephalun, miniäiis. tciiuicaiidiiii; Sar- 

 dmius macrodactylus.robudus; Splienocephalus catapliractuK ; 

 Squatina Baumhergensis ; Tachyneties longipes, maero- 

 dactylus; TeJepholin acrocepliaJus , bianteimatux; Tiche 

 adaciformis : ThyeUina anguda; Tlirinsopteroidcs inter- 

 medius , latus. 



Sodanu entliielt diese Sammlung die Originale zu 

 der Abhandlung von Hosius: „Ueber einige Dicoty- 

 ledonen der westfälischen Kreideformation" ; Palaeonto- 

 graphica Bd. XVII. Credneria westfalica , tenuinervis; 

 Ficus angustifolia, cretacea, elongata, gracilis, longifolia, 

 Itetischii; Quercus Legdensis. paucinervis , Wilmsii ; und 

 endlich die schönen Krebse zu Schlüter, die Macruren 

 Decapoden der Senon- etc. Bildungen Westfalens; 

 Zeitschrift der Deutscheu geologischen Gesellschaft, 

 Bd. XIV: 



AncyJoceras pseudoarmatum ; BecJcsia Sölxelandi; 

 Enoploclytia heterodo» , paucispina; EurycaHus naiio- 

 dactylus ; Goniodiscus Becksü; llo-ploparia longimana ; 

 Lepidospongia rugosa; Nymphaeops Coesfeldtensis , t^en- 

 denhorstensis ; Oplophorus Marclcü; Palinarus Baum- 

 bergicus; Peneus Roemeri; Podocrates Dühnensis; Pseudo- 

 crangon tenuicaudus; SquiUa cretacea. 

 (Fortsetzung folgt.) 



lieber Entwickelung und Stand der n-dimen- 



sionalen Greometrie, mit besonderer Berück- 



sicMigung der vierdimensionalen. 



Von Dr. Victor Schlegel, M. A. N. in Waren. 



Die mathematische Forschung hat sich in neuerer 

 Zeit der sogenannten mehrdimensionalen Geometrie mit 

 einer solchen Energie zugewendet, dass die anfänglich 

 in weiten Kreisen bestehende Meinung, man habe es 

 hier mit einer vorübergehenden Laune oder gar Ver- 



irrung der Wissenschaft zu thun, längst nicht mehr 

 haltbar erscheint. Vielmehr, wenn wir bedenken, dass 

 in verschiedenen Ländern die Mathematiker unab- 

 hängig von einander diesen Gegenstand fast gleich- 

 zeitig in Angriff genommen, ja, dass sogar ganz spe- 

 cielle Probleme von verschiedenen Seiten gleichzeitig 

 ihre Bearbeitung erfahren haben, so tritt uns die 

 n-dimensionale Geometrie als eine nothwendige Ent- 

 wickelungsstufe der Wissenschaft entgegen, die, wenn 

 ihre Zeit gekommen ist, die geistigen Kräfte der 

 Forscher unwiderstehlich in Bewegung setzt. Es ist 

 dies ja der Weg, den auch sonst neue wissenschaftliche 

 Ideen oft genug durchzumachen haben, namentlich, 

 wenn bei ihrem ersten Auftreten die Wissenschaft noch 

 nicht so weit entwickelt ist, dass die neue Idee darin 

 fruchtbaren Boden findet. Sie wird alsdann mit Miss- 

 trauen angesehen und bleibt so lange unbeachtet, bis 

 die Wissenschaft ihr entgegengereilt ist. Dann aber 

 wendet sich ihr, oft mit überraschender Schnelligkeit, 

 von allen Seiten das Interesse zu. Dieser Zeitpunkt 

 ist gegenwärtig offenbar auch für die mehrdimensionale 

 Geometrie gekommen, und es dürfte daher der im 

 Folgenden anzustellende Versuch, den Entwickelungs- 

 gang und gegenwärtigen Stand dieser Disoiphn über- 

 sichtlich darzustellen, nicht unzeitgemäss sein, um so 

 mehr, da ein specieller Theil derselben, die vier- 

 dimensionale Geometrie, das eigenthümliche Schicksal 

 gehabt hat, schon im ersten Stadium der Entwickelung 

 zur Grundlage eines grossartigen Systems der Mysti- 

 fication gemacht zu werden, was zu den bedauerlich- 

 sten, weit verbreiteten Missverständnissen über Be- 

 rechtigung, Bedeutung und Nutzen dieser Disciplin 

 geführt hat. 



Man kann eigentlich nicht sagen, dass erst die 

 neueren Forschungen im Gebiete der ebenen und 

 räumlichen Geometrie die Idee mehrdimensionaler 

 Räume und Gebilde vorbereitet hätten. Die Keime 

 dieser Idee waren schon lange vorhanden. Denn so- 

 bald man die Reihe der Gebilde: Punkt, Gerade, 

 Ebene, Raum aufgestellt, und erkannt hatte, dass die 

 Bewegung, durch welche jedes folgende aus dem 

 vorhergehenden entsteht, dem entstandenen Gebilde 

 das Merkmal einer neuen Dimension giebt, konnte 

 man in Gedanken diesen Bildungsprocess fortsetzen, 

 wenn auch freilich die Anschauung desselben aufhörte. 

 Aber der empirische Ursprung der Geometrie brachte 

 es mit sich, dass man den Gedanken, über die Grenzen 

 des Anschaulichen hinauszugehen, als unnütz, der 

 Erfahrung widersprechend, ja geradezu als widersinnig 

 verwerfen musste. Einen mächtigen Hebel für diesen 

 Fortschritt hätte sonst auch die analytische Geometrie 

 abseben können. Denn die Möghchkeit, Linien in 



