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der Ebene durch Gleichungen mit zwei, und Flächen 

 im Räume durch Gleichungen mit drei Variablen dar- 

 zustellen, führt naturgemäss auf die Frage, wie sich 

 Gleichungen mit vier und mehr Variablen geometrisch 

 interpretiren lassen. Auf einem anderen Gebiete freilich 

 zwang die Analysis den Geometer geradezu, das an- 

 schauliche Darstellungsgebiet zu verlassen. Mochte er 

 auch die Gleichungen mit mehr als drei Variablen vor- 

 läufig bei Seite legen, die imaginären Wurzeln drängten 

 ebenso zur Einführung eines nicht anschaulichen Ge- 

 bietes, wie der Begriff' des Uuendlichgrossen zur Ein- 

 führung der unendlich fernen Gebilde, welche beiden 

 Neuerungen ihren }3raktischen Nutzen sofort dadurch 

 bewährten, dass hinfort die störenden Ausnahmefälle 

 geometrischer Sätze in Wegfall kamen. Mau kann 

 wohl sagen, dass diese ersten Schritte über die Grenzen 

 des Anschaulichen der Idee des Mehrdimensionalen ein 

 wenig vorgearbeitet haben, wenn auch freilich für die 

 unendlich fernen Gebilde der Weltraum noch Platz 

 bot, und für die imaginären anschauliche Interpreta- 

 tionen gesucht und gefunden wurden. Das Haupt- 

 hiuderniss für jeden Fortschritt in der angegebenen 

 Richtung lag in dem Umstände, dass man von jeher 

 den rein mathematischen Begriff des krümmungslosen 

 dreidimensionalen Raumes mit dem empirischen des 

 Weltraumes identificirte. Nun war man freilich längst 

 gewöhnt, mathematische Punkte, Geraden und Ebenen 

 von den Ecken, Kanten und Flächen eines realen 

 Körpers wohl zu unterscheiden, und als rein abstracte 

 Gebilde aufzufassen. Aber, diese Abstraction auch 

 auf den Weltraum anzuwenden und aus ihm den Be- 

 griff des rein geometrischen dreidimensionalen Raumes 

 abzuleiten, dazu fehlte es an jeder Veranlassung, weil 

 man den Raum nicht selbst als Object geometrischer 

 Forschung, sondern nur als Gebiet für alle Construc- 

 tionen und Bewegungen anzusehen gewohnt war. Und 

 dass in den letzten hundert Jahren die philosophische 

 Forschung den Raumbegriff in metaphysische Wolken 

 hüllte, konnte auch nur dazu dienen, die Aufmerk- 

 samkeit von dem einfachen Fortschritte abzulenken, 

 welchen die Mathematik hier zu machen hatte. So 

 lange aber der Begriff des geometrischen Raumes sich 

 noch nicht von dem des Weltraumes geschieden hatte, 

 war auch eine Erweiterung des RaumbegrifFes auf das 

 mehrdimensionale Gebiet unmöglich. 



Die erste Veranlassung zu einem Schritt über 

 die Grenze der Erfahrungsgeometrie gaben die ver- 

 geblichen Versuche, das Euklidische Postulat der 

 Parallelentheorie zu beweisen. Schon Gauss (1792) ^) 

 fasste den Gedanken einer Geometrie, in der dieses 

 Postulat nicht gilt; aber erst Bolyai (1832)^) und 

 Lobatsclie wsky (1840) ä) führten denselben indem 



Umfange aus, dass sie als Begründer einer trans- 

 cendentalen Geometrie*) anzusehen sind, welche na- 

 mentlich dadurch charakterisirt ist, dass die Winkel- 

 sunnne des Dreiecks <; 2 R ist. Da man aber vor- 

 läufig kein Gebiet kannte, in welchem diese paradox 

 erscheinenden Resultate Geltung hätten, so blieben 

 diese Untersuchungen lange Zeit unbeachtet. Erst 

 Riemanu (1854)«) und Helmholtz (1868)5) kamen 

 durch analytische Untersuchungen über das Differential 

 des Linien-Elementes zur Vorstellung von Räumen, die 

 durch die Geltung allgemeiner Formeln charakterisirt 

 sind, in denen die für den Euklidischen Raum geltenden 

 als specielle Fälle enthalten sind. Diese Untersuchungen 

 enthielten gegenüber den älteren Arbeiten einen dop- 

 pelten Fortschritt. Einmal wurde zu den beiden 

 Möglichkeiten der Eukhdischen und der Lobatschew- 

 skyschen Geometrie eine dritte hinzugefügt, bei welcher 

 die Wiukelsumme des Dreiecks > 2 R ist. Sodann 

 erstreckten sich die neuen Resultate auf Gebiete von 

 beliebiger Dimensiouenzahl, was, wenigstens für die 

 Nicht-Euklidischen Gebiete, ein neuer Gesichtspunkt war. 

 Und während früher die Sätze der Nicht-Euklidischen 

 Geometrie so zu sagen in der Luft schwebten, weil 

 man kein Gebiet kannte, in welchem sie Geltung 

 hätten, so bot jetzt die Hineinziehung des Krümmungs- 

 begriffes in die Untersuchung ein Mittel, solche Ge- 

 biete bestimmt zu charakterisireu. Nachdem nämlich 

 Beltrami (1868)'') gezeigt hatte, dass die Resultate 

 der Lobatschewskyschen Geometrie auf den Flächen 

 mit constanter negativer Krümmung ihre Verwirk- 

 lichung finden, und nachdem für den dritten Fall die 

 constaut positiv gekrümmte Kugelfläche als geeignetes 

 Interpretationsgebiet sich dargeboten hatte, unterlag 

 es jetzt keiner Schwierigkeit mehr, neben den der 

 Ebene entsprechenden Euklidischen Raum zwei ideale 

 Gebiete mit constanter positiver und negativer Krüm- 

 mung zu stellen, und dieselbe Unterscheidung auch 

 für mehrdimensionale Mannichfaltigkeiten aufzustellen. 

 So entstanden die Begriffe der Lobatschewskyschen 

 (constant negativ gekrümmten) und der Riemannschen 

 (constant positiv gekrümmten) Raumformen von behe- 

 biger Dimensionenzahl. Die Vorstellung eines n-dimen- 

 sionalen krümmungslosen (ebenen) Raumes war zur 

 Zeit der Entdeckungen von Riemann und Helmholtz 

 nicht mehr neu, wie wir sogleich sehen werden. Aber 

 man würde auch schon durch Zulassung dreidimen- 

 sionaler gekrümmter Räume sich genöthigt gesehen 

 haben, den Schritt ins Vierdimensionale und analog 



*) Der Name dieser Geometrie ist bei Gauss „Nicht- 

 Euklidische", bei Bolyai „absolute", bei Lobatschewsky 

 „imaginäre", bei Klein „hyperbolische". Ausführlichere 

 Notizen finden sich bei Frischauf, Elemente der absoluten 

 Geometrie, Leipzig 1876, S. 33. 



