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in die höher dimeiisionirten Gebiete zu thun. Denn 

 ganz ebenso erfordert der Uebergang von den geraden 

 Linien zu den Curven den Schritt in die Ebene, und 

 derjenige von den ebenen zu den gewölbten Flächen 

 den Schritt in den Raum. 



Einen ganz anderen Ausgangspunkt als die bisher 

 erwähnten Untersuchungen hatten die in ihrer Art 

 ebenso allgemeinen, aber für die reale Geometrie un- 

 vergleichlich fruchtbareren Arbeiten Grass mauns, 

 die hier allerdings nur gestreift werden können, da 

 ihr Schwerpunkt in einem unserem Thema fremden 

 Gebiete, nämlich dem der geometrischen Rechnungs- 

 opera tioneu liegt. Grassmann erblickte in der Ein- 

 führung der Coordinaten, wie deren die analytische 

 Geometrie bedurfte, um ihre Probleme mit Hülfe der 

 gewöhnlichen algebraischen Rechnungsarten behandeln 

 zu können, einen Mangel der Methode, indem durch 

 die Coordinaten nicht nur Elemente, die dem behan- 

 delten Gegenstande ganz fremd sind, herangezogen 

 werden, sondern auch die Rechnungen und Resultate 

 eine Form annehmen, deren Complicirtheit mit der 

 Einfachheit des Inhalts in keinem Verhältnisse steht. 

 Man kann nun allerdings, wie zahllose Arbeiten aus 

 neuerer Zeit beweisen, mit Erfolg für specielle Gegen- 

 stände zur Vereinfachung auch specielle Coordinaten- 

 systeme schaffen, oder durch systematische Abkürzungen 

 complicirter Ausdrücke Symbole herstellen, die an 

 Einfachheit nichts zu wünschen übrig lassen ; aber zu 

 dem Ideale einer principiellen und einheitlichen Ge- 

 sammtmethode, wie es die analytische Geometrie in 

 ihrer ältesten Gestalt war, können alle diese den 

 Charakter der zufälligen Entstehung an sich tragenden 

 und unter einander nur lose zusammenhängenden 

 Specialmethoden keinen genügenden Beitrag liefern. 

 Es war daher ein Gedanke von fundamentaler Be- 

 deutung, dem auch heute noch die Entwickelung der 

 Geometrie zustrebt, dass Grassmann unter Verzicht- 

 leistung auf alle Hülfsmittel der analytischen Geometrie 

 eine den geometrischen Forschungen vollkommen 

 adäquate Analysis schuf, die mit ihren neuen in aller 

 Strenge begründeten Operationen jenes Ideal verwirk- 

 lichte, welches schon Leibniz') einst vorgeschwebt 

 hatte. Diese, zunächst aus den Bedürfnissen der realen 

 Geometrie erwachsene Methode , zeigte sofort die 

 Fähigkeit der Verallgemeinerung auf ebene Gebiete 

 mit beliebig vielen Dimensionen, und wurde denn 

 auch von Grassmann in seiner „Ausdehnungslehre von 

 1844" *•) in voller Allgemeinheit dargestellt. Dieses 

 Werk enthielt also zunächst alle Principien einer 

 n-dimensionalen Geometrie und gab gleichzeitig den 

 denkbar einfachsten Formalismus für analytische Unter- 

 suchungen auf diesem Gebiete. Seine Bedeutung reichte 



aber noch weiter. Es stellte die gesammte reale 

 Geometrie oder Raumlehre, die man als eine mit der 

 Zahlenlehre auf gleicher Stufe stehende reine Geistes- 

 wissenschaft anzusehen gewohnt war, als eine ange- 

 wandte Wissenschaft hin, und zwar als Anwendung 

 der rein abstracten Ausdehnungslehre auf die anschau- 

 lichen Gebiete des Euklidischen Raumes und der Ebene. ^) 

 Diese wahrhaft grossartige Auffassung emancipirte mit 

 einem Schlage die geometrische Forschung von dem 

 durch die Grenzen des Anschaulichen ihr auferlegten 

 Zwange, und die neue Analysis gab ihr einen sicheren 

 Führer in die unbekannten Regionen. Diese Auffassung 

 brachte auch Licht in das Dunkel der geometrischen 

 Grundsätze, indem sich jetzt übersehen liess, dass 

 diesen Namen nur diejenigen Sätze verdienen, welche 

 Grundeigenschaften des dreidimensionalen Raumes aus- 

 drücken. Die von Grassmann festgestellten Grund- 

 sätze 1") sind später von Erdmann ' i) in neuer Form 

 ausgesprochen worden. 



Da die Grassmannschen Methoden Jahrzehnte 

 lang unbeachtet blieben, und auch in neuerer Zeit 

 hauptsächlich auf den Gebieten der realen Geometrie, 

 der Forraentheorie und der Mechanik Verwendung 

 gefunden haben, so ist ihr Einflnss auf die Ent- 

 wickelung der n-dimensionalen Geometrie bisher nur 

 gering gewesen. Hierzu kommt noch, dass andere 

 geometrische Methoden durch fortgesetzte Weiter- 

 bildung im Laufe der Zeit eine grosse formale Aehn- 

 lichkeit mit einigen Methoden der Ausdehnungslehre, 

 und dadurch auch annähernd gleiche Brauchbarkeit 

 zu gewissen mehrdimensionalen, wie zu anderen geo- 

 metrischen Untersuchungen gewonnen haben. 



Dagegen knüpft eine ganze Reihe von Unter- 

 suchungen an die oben erwähnten Arbeiten von Rie- 

 mann und Helmholtz an. Ursprung und Gehalt dieser 

 Arbeiten ist im Wesentlichen analytischer Natur. Es 

 handelt sich um Funktionen von n Variablen, um 

 Transformationsprobleme, um Ausdrücke für das 

 Krümmungsmaass, und die geometrischen Resultate 

 erscheinen als Interpretationen der analytischen, ohne 

 jedoch den bewussten Zielpunkt der Untersuchungen 

 zu bilden. Gelegentlich wird auch die Verallgemeinerung 

 einer Formel mit zwei oder drei Variablen auf 

 n-dimensionale Gebilde angedeutet, ohne dass man 

 diesen Gebilden selbst besondere Aufmerksamkeit 

 schenkt. Es gehören in diese Kategorie Arbeiten von 

 Kronecker i2j, Beez i3j^ Lipschitz i*), Chri- 

 stoffel i^j U.A. — Die Geometer von Fach verhielten 

 sich diesen Excursen in das transcendentale Gebiet 

 gegenüber Anfangs ziemlich reservirt. In der That 

 konnten sie mit Grund behaupten, dass es in den 

 Gebieten der Ebene und des Euklidischen Raumes noch 



