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viel zu viel für sie zu thun gebe, um schon Excur- 

 sionen in die höher dimensionirten Gebiete zu machen. 

 Aber in dem Maasse, wie die Vorstellungen und Aus- 

 drucksweisen der n - dimensionalen Geometrie in den 

 Kreisen der Mathematikei- sich einbürgerten, wuchs 

 auch das Bedürfniss nach zusammenhängenden Er- 

 kenntnissen auf diesem Gebiete, und der durch die 

 neueren geometrischen Methoden beförderte Zug zum 

 Generalisiren der erhaltenen Resultate konnte diese 

 Bestrebungen nur aufs Nachdrücklichste unterstützen. 

 Wir erblicken in diesem Zuge eine gesunde Reactiou 

 gegen die lange Zeit hindurch — nicht in der mathe- 

 matischen Wissenschaft allein — herrschende Richtung, 

 welche in der Erkenntniss von allerlei gleichgültigem 

 Detail eine Bereicherung der Wissenschaft suchte und 

 die Ausnutzung verbesserter Methoden, welche der 

 Forschung neue, fruchtbare Gesichtspunkte eröffneten, 

 verschmähte. 



Es war übrigens Zeit, dass auch auf diesem Ge- 

 biete die geometrische Forschung anfing selbstständig 

 zu werden und ihre eigenen Ziele zu verfolgen; es 

 fragte sich nur: mit welchen Mitteln? — Steiner 

 hatte die Geometrie der Ebene und des Raumes aus 

 den Fesseln der Analysis erlöst; aber schon in den 

 anschaulichen Gebieten war es den Fachgonossen 

 durchschnitthchen Schlages schwer oder unmöglich, 

 seiner geometrischen Vorstellungskraft, durch welche 

 er die anderen um Haupteslänge überragte, überallhin 

 zu folgen; um wie viel schwieriger musste es erst in 

 den abstracten mehrdimensionalen Gebieten sein, ohne 

 die Hülfe der leitenden Formeln mit Sicherheit den 

 Weg zu finden. — Grassmann hatte auch dieser ab- 

 stracten Geometrie die geeignete Formelsprache ver- 

 liehen ; aber als im Anfang der siebenziger Jahre die 

 geometrische Forschung sich energischer dem n-dimen- 

 sionalen Gebiete zuzuwenden begann, da fingen Grass- 

 raanns Methoden überhaujit erst an , bekannt zu 

 werden. Und der schnellen Verbreitung dieser Me- 

 thoden standen in Deutschland allerlei Vorurtheile 

 gegenüber, die zu erörtern hier nicht am Platze ist, 

 während im Auslande wenigstens nur die Concurrenz 

 der Quaternionentheorie zu überwinden war. — Sollte 

 also die aus rein geometrischen Anfängen erwachsene 

 n-dimensionale Geometrie nicht eine Domäne der 

 Funktionstheoretikor bleiben, so blieb nichts übrig, 

 als sie mit den geläufigen Methoden der analytischen 

 Geometrie in Angriff zu nehmen. In der That zeigt 

 uns ein Ueberblick über die Literatur der letzten 

 25 Jahre auf diesem Felde eine stetige Zunahme der 

 von geometrischen Zwecken geleiteten Untersuchungen, 

 unter welchen sich in den letzten Jahren auch syn- 

 thetische Arbeiten in steiarender Anzahl vorfinden. 



Naturgemäss bewegt sich die Mehrzahl der Unter- 

 suchungen auf dem Gebiete der krümmungslosen 

 (ebenem Mannichfaltigkeiten. Hier nun gewahren wir 

 zunächst das Bestreben, die in der Geometrie der 

 Ebene und des Raumes vorkommenden Begriffe auf 

 das n-dimensionale Gebiet auszudehnen, und zwar rein 

 abstract, ohne dass fürs Erste der Versuch gemacht 

 wird, die gewonnenen Resultate unserer Anschauung 

 näher zu bringen. Mit den allgemeinen Grundlagen 

 einer analytischen Geometrie des ebenen n - dimensio- 

 nalen Raumes beschäftigte sich Bettii"), der u. A. 

 die Begriffe des linearen Zusammenhanges, der Be- 

 grenzung und Theilung n-dimensionaler Gebilde gab. 

 Lie '') untersuchte die den Flächen und Linien ent- 

 sprechenden Gebilde, den Begriff des orthogonalen 

 Schneidens, ferner die n-dimensionale Kugel, und gab 

 im Anschluss an die Theorie der Krünmiungslinien 

 eine Erweiterung des Dupinschen Theoi-ems. Jor- 

 dan i**) stellte die Bedingungen auf für parallele und 

 senkrechte Richtung ebener Gebiete, untersuchte ihre 

 Simultan-Invarianten, und erweiterte den Begriff der 

 orthogonalen Substitution, sowie die mit der Krümmung 

 zusammenhängenden Begriffe der Curventheorie, woran 

 sich noch trigonometrische und kinematische Unter- 

 suchungen schlössen. Ein Theil dieser Resultate, be- 

 treffend die Coordiuatenbestimmung und den Euler'- 

 schen Satz über die Bewegung eines starren Körpers 

 um einen Punkt, war früher schon von Schläfli^^) 

 gefunden worden. Auch Frahm^") betrachtet das 

 eben erwähnte mechanische Problem in einem Räume 

 von (n-j-1) Dimensionen. G. Cantor^i) zeigte, wie 

 die Zahl der Variablen, von denen die Lage eines 

 Elementes im u- dimensionalen Räume abhängt, sich 

 verringert, wenn man die Bedingung des stetigen 

 Zusammenhanges dieses Raumes fallen lässt, und 

 untersuchte die Beziehungen zweier Punkte in zwei 

 solchen Gebieten. Netto ^-J wies nach, dass die 

 gegenseitige Beziehung zweier Gebiete von m und n 

 Dimensionen nicht zugleich eindeutig und stetig sein 

 könne. S. Kantor ^3) untersuchte lineare Trans- 

 formationen und Collineationen im n - dimensionalen 

 Gebiete, ein Gegenstand, mit dem sich mehrere Jahre 

 vorher auch schon Eichler 2*) beschäftigt hatte. 

 Pilgrim^'') bestimmte die Anzahl der Theile, in die 

 ein k-dimensionaler Raum durch n (k — l)-dimensio- 

 nale getheilt wird. Brunei ^e) untersuchte die me- 

 trischen Eigenschaften von Curven im n-dimensionalen 

 Gebiete, Kret kowsky 27) gab die Coordinaten eines 

 von n-j-1 Punkten im n-dimensionalen Räume gleich- 

 weit entfernten Punktes. Uebrigens hat Genocchi^») 

 darauf aufmerksam gemacht, dass Untersuchungen 

 Cauchys^ä), welche sich mit der n-dimensionalen 



