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Punktes in einer mehrfach ausgedehnten Mannichfaltig- 

 keit betrachtete. Spottiswoode^^j nahm die Auf- 

 gabe direct in Angriff, indem er die Variablen einer 

 Gleichung in Gruppen von je drei Gliedern theilte 

 (wobei die letzte Gruppe auch 1 oder 2 Variable ent- 

 halten kann). Betrachtet man dann die Grössen der 

 einen Gruppe als Variable, die übrigen aber als Para- 

 meter, so drückt die Gleichung für jede Gruppe ein 

 Flächensystem aus, und alle diese Flächensysteme 

 zusammen geben das geometrische Bild der Gleichung. 

 Halphen^'') projicirte ein Gebilde von (n — 1) Dimen- 

 sionen auf (n — 2) verschiedene dreidimensionale Räume, 

 und Veronese ^s') benutzte das Princip des Projicirens 

 und Schneidens systematisch zur Behandlung projec- 

 tivischer Verhältnisse. Wieder anders verfuhr Cr aig^"), 

 indem er eine durch zwei Gleichungen mit vier Va- 

 riablen im vierdimensionaleu Räume gegebene Ober- 

 fläche so im Euklidischen Räume abbildete, dass die 

 kleinsten Theile einander ähnlich blieben. Ueberhaupt 

 sind gerade hinsichtlich der vierdimensionaleu Gebilde 

 mannichfache Versuche gemacht worden, dieselben in 

 den Euklidischen Raum zu verpflanzen, und zwar wo- 

 möglich unter Ersetzung der vierten Dimension durch 

 irgend eine anschauliche Eigenschaft. Es sei zum 

 näheren Verständniss dieser Methoden nur daran er- 

 innert, dass man eine Kugelfläche auf einer Ebene 

 vollständig durch zwei Kreisflächen abbilden kann, 

 wie es beispielsweise mit den beiden Halbkugeln der 

 Erdoberfläche üblich ist. Man könnte dann die ver- 

 lorene dritte Dimension dadurch zur Vorstellung 

 bringen, dass man jedem Punkte einer solchen Ki'eis- 

 fläche eine seinem Abstände von der Fläche des Grenz- 

 kreises (der die Kugelfläche halbirt) proportionale 

 Dichtigkeit oder Farbenintensität zuertheilte. Ebenso 

 kann nun als Abbild des entsprechenden vierdimen- 

 sionaleu Gebildes eine Doppelkugel dienen, in der man 

 sich jeden Punkt mit einer bestimmten Dichtigkeit 

 oder Farbenstärke ausgestattet denkt. Der Gedanke, 

 in diesem Sinne die Dichtigkeit als vierte Dimension 

 zu betrachten, findet sich bei Scheffler "), während 

 die Färbung für denselben Zweck von Most-^^j in 

 Erinnerung gebracht wird. Hierher gehört auch 

 Dührings*3j Auffassung der Mechanik von Lag ränge 

 als einer Geometrie \on vier Dimensionen. Der älteste 

 Versuch in dieser Richtung ist wohl der von dem 

 englischen Spiritualisten Henry More (un 17. Jahr- 

 hundert) angestellte, der aber, wie neuerdings Zim- 

 mermann**) nachgewiesen hat, mit der Aufstellung 

 einer vierten Dimension auch nichts den drei Rich- 

 tungen des gewöhnlichen Raumes Analoges bezweckt hat. 

 Bei allen vorgenannten Versuchen ist uun aber, 

 soweit sie Gebilde von mehr als vier Dimensionen 

 Leop. XXII. 



betreffen, der Weg von dem gegebenen Gebilde bis zu 

 seinen anschaulichen Abbildern ein zu weiter, als dass 

 man sagen könnte, es sei dadurch etwas Wesentliches 

 für die Veranschaulichung gewonnen. Und wiederum 

 werden bei den Versuchen, die vierte Dimension in 

 irgend einer Form zu conserviren, allerlei der rein 

 mathematischen Betrachtung fremde Begriffe in die 

 Untersuchung hineingetragen. Will man also innerhalb 

 der Grenzen gewohnter geometrischer Methoden bleiben, 

 was doch schliesslich schon im Interesse des inneren 

 Zusammenhanges aller geometrischen Erkenntnisse das 

 Beste ist, so bleibt nichts übrig, als die höheren 

 Dimensionen ohne Rückhalt zu opfern, und sich mit 

 solchen Abbildungen der mehrdimensionalen Gebilde 

 zu begnügen, welche aus einer der in der Geometrie 

 üblichen Projectionsmethoden hervorgehen. Aber auch 

 dieses den Umständen nach immer noch vollkommenste 

 Mittel erweist sich im Allgemeinen nur dann als 

 wirklich brauchbar, wenn es den Uebergang aus eiuem 

 Gebiet in das nächst niedere vermittelt. Ein Polyeder 

 können wir aus seiner Projection auf die Ebene be- 

 greifen, weil die Abbildung auf unser Flächen sehendes 

 Auge im Wesentlichen denselben Eindruck macht, wie 

 der Körper selbst, und weil unsere Phantasie die 

 dritte Dimension leicht ergänzt. Und so mag auch, 

 wenn das Polyeder, oder, allgemeiner gesprochen, ein 

 räumliches Liniennetz die Projection eines vierdimen- 

 sionaleu Gebildes vorstellt, die ebene Abbildung dieses 

 Liniennetzes noch ihren Zweck erfüllen, sofern nur 

 die Complication nicht zu gross ist. Dagegen wird 

 eine Punktreihe auf einer Geraden höchstens noch als 

 lineare Abbildung eines ebenen Polygons zu gebrauchen 

 sein, aber nicht mehr als Abbildung eines Liniennetzes, 

 welches selbst wieder die Abbildung eines Polj^eders 

 sein soll. 



Man wird also schliesslich die Methode der Pro- 

 jection mit Nutzen als Mittel der Darstellung für 

 vierdiniensionale Gebilde gebrauchen können, ein Mittel, 

 welches vor den oben genannten Suri-ogaten den Vor- 

 zug wirkhcher Ausführbarkeit hat — die erste Be- 

 dingung der wahren Anschaulichkeit. In den Pro- 

 jectionsmethoden eröfl'uet sich aber auch noch ein 

 beachtenswerther Weg, zur Erkenntniss der Gebilde 

 und ihrer Eigenschaften in mehrdimensionalen Gebieten 

 zu gelangen. Denn es liegt nahe, durch Umkehrung 

 des Projectionsprocesses aus räumlichen Gebilden zu- 

 nächst vierdiniensionale abzuleiten, wobei der bekannte 

 Uebergang von der Ebene zum Räume als Richtschnur 

 dienen kann, während man im Besitz einer Reihe 

 analoger Gebilde mit 1, 2, 3, 4 Dimensionen mit 

 geringerer Schwierigkeit, wenn auch unter gänzlichem 

 Verzicht auf die Anschauung, zu höher dimensionirten 



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