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Die Sammlungeu des Berliner Kunstgewerbe- 

 Museums von A. Pabst. Leipzig-. Seemann. 1884. 



Das Kunstgewerbe -Museum zu Berlin. Fest- 

 schrift. 1881. 



Zum Schluss sei noch kurz erwälmt, dass sieh 

 an den Congress verschiedene Avisseuschaftliche Excur- 

 sionen anschlössen. 1) In die Diluviallandschaft von 

 Potsdam. 2) Nach Eberswalde und zu dem Joachims- 

 thal Choriner Geschiebewall. 3) Zu den Gletscher- 

 schlifFen bei Küdersdorf. 4) In den Harz. 5) Nach 

 Stassfurth. 6) Nach Leipzig. 7) Nach Taucha. 

 8) Nach Annaberg und Ober-Mittweida. 9) Nach dem 

 Eruptivstock von Wiesenthal. 10) Nach Dresden. 

 11) In die sächsische Schweiz. 12) In das Löss- 

 gebiet Dresdens. 13) In den Plauenschen Grund. 



Ueber Entwickelung und Stand der n-dimen- 



sionalen G-eometrie, mit besonderer Berück- 



sicMigung der vierdimensionalen. 



Von Dr. Victor Schlegel, M. A. N. in Waren. 

 i,Fortsetzung.'i 



Während die bisher erwähnten Arbeiten grössten- 

 theils die Erweiterung elementar -geometrischer und 

 metrischer Beziehungen zum Gegenstande haben, ist 

 auch das Gebiet der projectivischen Geometrie von 

 den durch die neuen Anschauungsweisen bedingten 

 Fortschritten nicht unberührt geblieben. Schon im 

 Jahre 1872 war Darboux''*) durch seine Unter- 

 suchungen über partielle Differentialgleichungen zur 

 Bestimmung der Berührungstransformationen eines 

 n-dimensionalen Raumes gelangt. Gleichwohl ver- 

 zichtete er bei späteren Untersuchungen auf die Be- 

 nutzung einer von ihm gefundenen Projection aus 

 dem vierdimensionalen Räume wegen ihrer praktischen 

 Unausführbarkeit S6). Anknüpfend an ähnliche Arbeiten 

 von Lie stellte um dieselbe Zeit Kleinod) den Zu- 

 sammenhang fest zwischen der Liniengeometrie und 

 der metrischen Geometrie des vierdimensionalen Raumes 

 nebst Erweiterung dieser Beziehungen auf das n-dimen- 

 sionale Gebiet. Neuerdings hat Segre^') eine aus- 

 führliche Darlegung der Eigenschaften der Oberflächen 

 vierter Ordnung mit Doppelkegelschnitt gegeben, in- 

 dem er eine solche Fläche auffasst als Centralprojection 

 des Schnittes, welcher durch zwei quadratische drei- 

 dimensionale Gebilde (entsprechend den Kegelschnitten 

 und Flächen zweiter Ordnung) im vierdimensionalen 

 Räume entsteht, auf den Euklidischen Raum. Einen noch 

 weit allgemeineren Standpunkt nimmt F. Meyers ^s) 

 Werk über Apolarität und rationale Curven ein, wel- 

 ches, indem es der genannten Theorie die Mittel der 



modernen Algebra dienstbar macht, nicht nur nach 

 verschiederien Seiten hin Verallgemeinerungen auf das 

 n-dimensionale Gebiet vornimmt, sondern geradezu als 

 Voruntersuchung zu einer allgemeinen Theorie der 

 linearen Räume geschrieben ist. 



Von besondei'er Anziehungskraft hat sich endlich 

 ein Problem erwiesen, dessen Lösung bei oberflächlicher 

 Betrachtung der synthetischen Behandlung Mangels 

 der Anschaulichkeit ebenso zu spotten scheint, wie 

 der analytischen vermöge seiner besonderen Natur. 

 Es ist dies die Auffindung derjenigen regelmässigen 

 Gebilde des ebenen vierdimensionalen Raumes, welche 

 den regelmässigen Pol3'gonen der Ebene und den 

 regelmässigen Polyedern des gewöhnlichen Raumes 

 entsprechen. Angesichts der Unregelmässigkeit, welche 

 darin liegt, dass in der Ebene unendlich viele, im 

 Räume dagegen nur fünf solcher Gebilde existiren, 

 musste man namentlich auch auf die Zahl und Be- 

 grenzung dieser Gebilde im vierdimensionalen Gebiete 

 gesjiannt sein. Es sei noch daran erinnert, dass ein 

 solches Gebilde von regelmässigen Polyedern vollständig 

 begrenzt sein rauss, und zwar so, dass in jeder Ecke 

 und ebenso in jeder Kante gleich viele solcher Körper 

 zusammenstossen. Mit diesem Probleme haben sich 

 nun, meines Wissens, nicht weniger als acht Mathe- 

 matiker beschäftigt und dasselbe unabhängig von 

 einander, nahezu gleichzeitig, mehr oder minder voll- 

 ständig gelöst, wobei auch die Frage nach der Existenz 

 analoger Gebilde in den höheren Mannichfaltigkeiten 

 erledigt worden ist. Sehen wir ab von einem fehl- 

 geschlagenen Versuche Emsmanns^^J, das dem 

 gleichseitigen Dreieck und dem regelmässigen Tetraeder 

 entsprechende vierdimensionale Gebilde zu finden, so 

 ist zunächst Hoppes schon oben citirte Abhandlung 

 von 1879 "') zu erwähnen, in welcher nicht nur dieses 

 Gebilde, sondern auch die ganze Reihe der ent- 

 sprechenden in höheren Gebieten defiuirt, und eine 

 Voiumenbestimmung dieser Gebilde gegeben wird. 

 Dieser ersten Reihe fügte Sehe f f 1 e r ^ i) noch eine 

 zweite mit Quadrat und Würfel beginnende hinzu, 

 und zeigte, indem er die Bedingung gleich langer 

 Kanten fallen hess, dass die Aufgabe, ein solches 

 „rechteckiges" n-dimensionales Gebilde aus den ge- 

 gebenen Gesammtinhalten seiner verschiedenen Be- 

 grenzungen zu construiren, sich decke mit der Be- 

 stimmung der Wurzeln einer Gleichung u''" Grades 

 durch ihre Coefficienten. Beide Reihen regelmässiger 

 Gebilde fand auch Rudel''"), der gleichzeitig elf 

 Bildungsweisen regelmässiger Gebilde des vierdimen- 

 sionalen Raumes angab und fünf derselben als un- 

 brauchbar aussonderte, ohne jedoch von den sechs 

 übrigen diejenigen vier weiter zu verfolgen, welche 



