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auf die den beiden ersten Reihen nicht angehörigen 

 Gebilde führen. In der That lassen uns die einfachen 

 Analogie-Schlüsse und Constructionen, welche zu jenen 

 Reihen führen, bei den vier anderen Gebilden im 

 Stich, und es bleibt nur übrig, dieselben dadurch zu 

 finden, dass man ihre dreidimensionalen Projectionen 

 construirt. Diese Projectionen präsentiren sich als 

 Körper, die aus Polj'edern zusammengesetzt sind, in 

 ähnlicher Weise, wie die ebenen Netze der regel- 

 mässigen Körper als Figuren, die aus einer Anzahl 

 von Polygonen bestehen. Die Bildung jener Projections- 

 körper kann nun auf zwei Arten erfolgen, nämlich 

 entweder von innen nach aussen durch Zusammen- 

 setzung, oder von aussen nach innen durch Zerlegung 

 eines gegebenen Polyeders. Im ersteren Falle wird 

 das Bildungsverfahren und die Begrenzung des Pro- 

 jectionskörpers wieder durch den Umstand beeinflusst, 

 dass das anfängliche Zusammenlegen der Körper ent- 

 weder um einen Punkt oder um einen Centralkörper 

 herum erfolgen kann. Mittelst der ersteren der ge- 

 nannten Hauptmethoden gelangten S tringliam ""'j 

 und Hoppe ''-) zu einer vollständigen Lösung des 

 Problems, und zwar in mehreren Fällen mit der eben 

 erwähnten Verschiedenheit im Zusammensetzungsver- 

 fahren ; die zweite ist von mir mit demselben Erfolge 

 angewendet worden "';. Nach den übereinstimmenden 

 Resultaten dieser Untersuchungen giebt es nun im 

 vierdimensionalen Räume sechs regelmässige Gebilde, 

 welche der Reihe nach begrenzt werden von 5, 16, 

 600 Tetraedern, 8 Hexaedern. 24 Oktaedern und 120 

 Dodekaedern.*; Stringham stellte auch fest, dass 

 die drei, resp. mit 1) Dreieck, Tetraeder, Füufzell 

 (von 5 Tetraedern begrenzt), 2) Viereck, Hexaeder, 

 Achtzell (von 8 Hexaedern begrenzt) , 3) Viereck, 

 Oktaeder, Sechzehnzell (von 16 Tetraedern begrenzt) 

 beginnenden Reihen sich in alle höheren Dimensionen 

 fortsetzen, während in Räumen mit mehr als vier 

 Dimensionen andere regelmässige Gebilde überhaupt 

 nicht existiren. Die sonstigen mit diesem Gegenstande 

 zusammenhängenden Arl)eiten von Hoppe sind bereits 

 oben citirt worden. Hinsichtlich meiner eigenen Untei'- 

 sucliungeu sei noch gestattet zu bemerken, dass ich 

 durch Verzichtleistung auf die Regelmässigkeit der 

 begrenzenden Figuren und Körper eine grössere All- 

 gemeinheit der Gebilde erreiche, wie sie in einzelnen 

 Fällen auch schon in früheren Arbeiten hervortritt, 

 und dass sich an diese Gebilde eine Menge topo- 

 logischer und anderer, mit der Krümmungs- und 

 der Maasstheorie zusammenhängender Untersuchungen 



*i Modelle der zugehörigen dreidimensionalen Pro- 

 jectionskörper iin Draht und Seide ausgeführt' habe ich 

 bereits früher angefertigt und neuerdings pubhcirt. 



anschliessen. Zu den oben raitgetheilten Resultaten 

 hinsichtlich der Anzahl und Begrenzung der regel- 

 mässigen vierdimensionalen Gebilde ist auch Forch- 

 h a m m e r "*) gelangt. Doch konnte ich aus dem mir 

 allein zu Gebote stehenden Referate über seine Arbeit 

 nicht ersehen, in welchem Verhältniss dieselbe zu den 

 vorgenannten steht. Endlich hat in neuerer Zeit 

 Puchta^äj dasselbe Problem auf dem Wege der ge- 

 wöhnhchen analytischen Geometrie, und zwar in dem 

 Umfange der Stringhamschen Resultate, gelöst. 



Nachdem uns so die Kenntniss der wichtigsten 

 Grundgebilde mehrdimensionaler Räume erschlossen, 

 ist es möglich geworden, an diesen Gebilden analoge 

 Eigenschaften aufzusuchen, wie wir sie an den ent- 

 sprechenden Grundgebilden der Ebene und des Rau- 

 mes kennen. Solche Arbeiten befinden sich bereits 

 unter den oben genannten. Noch sei bei dieser Ge- 

 legenheit die neuerdings von Schapira '^''J gemachte 

 Bemerkung erwähnt , dass die bei der Abelschen 

 Multiplication unendlicher Reihen auftretenden höheren 

 figurirten Zahlen in Körpern von höherer Dimensionen- 

 zahl ihre geometrische Darstellung finden. 



Es sind übrigens solche mehrdimensionale Unter- 

 suchungen nicht nur ihrer unmittelbaren Resultate 

 wegen wichtig, sondern auch wegen der neuen Pro- 

 bleme, die sie anderen Zweigen der Mathematik stellen, 

 und wegen der neuen Gesichtspunkte, die sie für die 

 ebene und räumliche Geometrie erört'nen. Dift'erential- 

 rechnung, Mechanik, descriptive und abzählende Geo- 

 metrie haben durch sie neue Aufgaben erhalten, durch 

 sie wurde Lie''^) zu einer neuen Integrationsmethode 

 geführt ; und ebenso, wie manche Gegenstände der 

 ebenen Geometrie, wie z. B. die Kegelschnitte, am 

 einfachsten und natürlichsten aus räumlichen Betrach- 

 tungen fliessen, hat sich in demselben Sinne die 

 vierdimensionale Geometrie bereits nützlich erwiesen 

 für die räumliche. Auch die Verfolgung und Ver- 

 allgemeinerung geometrischer Begriffe und Sätze bis 

 ins n -dimensionnle Gebiet wirft neues Licht auf den 

 Zusammenhang z 'fischen Sätzen der ebenen und der 

 räumlichen Geometrie ; endlich aber lassen sich aus 

 Sätzen der n-dimensionalen Geometrie durch Speciali- 

 sirung geradezu neue Sätze der ebenen und räum- 

 lichen ableiten. Als Beisjjiel diene der von Halphen ■^■"~) 

 gegebene Satz über die Zahl der scheinbaren Doppel- 

 punkte einer Raumcurve m'^'' Ordnung. Wenn die 

 Forschungen der neueren Zeit immer zahlreichere und 

 engere Beziehungen zwischen Analj-sis und Geometrie 

 aufgedeckt haben, und wenn in Folge dessen jedf 

 dieser beiden Wissenschaften berufen erscheint, auch 

 zur Förderung der anderen mit beizutragen, so muss 

 die n-dimensionale Geometrie als eine wesentliche 



