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vor die Frage gestellt sehen, ob nur unsere leibliche 

 Existenz in einer dreidimensionalen Erscheinuugswelt 

 unsern Geist an der Erkenntniss eines wirklich exi- 

 stirenden vierdimensionalen Gebietes hindere, oder ob 

 diese uns umgebende Erscheinungswelt wirklich die 

 einzige sei, welche eine reelle Existenz besitze, während 

 alsdann alle höheren Mannichfaltigkeiten nur Produote 

 unseres Denkvermögens sein würden, die sich von 

 analogen Producten dieses Vermögens, nämlich den 

 Punkten, Linien und Flächen, nur dadurch wesentlich 

 unterscheiden würden , dass wir uns die letzteren 

 als minderdimensionale anschaulich vorstellen können, 

 was bei den ersteren, mehrdimensionalen nicht 

 möglich ist. 



Wir haben vorläufig keinen Grund, anzunehmen, 

 dass metaphysische Speoulatiouen allein unsere her- 

 gebrachte Ansicht von der alleinigen materiellen Exi- 

 stenz unserer dreidimensionalen Erscheinungswelt än- 

 dern werden. Noch weniger ist Aussicht, dass wir 

 je der hypothetischen Bewohner eines anderen Raumes, 

 sei er mit eben so vielen oder mehr Dimensionen be- 

 gabt, als der unsrige, bedürfen werden, um uns durch 

 ihre Eingrifie in die unentwegt regierenden Natur- 

 gesetze Erscheinungen unserer Natur zu erklären, und 

 dass wir so zur Ueberzeugung von der Existenz einer 

 anderen Welt gelangen werden. Denn wie viel Un- 

 erklärtes in der Welt der natürlichen Erscheinungen 

 auch noch existiren mag: wie das undurchforschte 

 Gebiet des Erdballs, so verengt sich auch stetig das 

 Gebiet jener unerklärten Erscheinungen ; es verengt 

 sich mit ihm das dunkele Gebiet, auf welchem Char- 

 latanerie und Sinnentäuschung mit der Leichtgläubig- 

 keit und der mangelhaften Sinneswahrnehmung der 

 Menschen ihr Spiel treiben können. Mehr freilich, 

 als jene Gebiete aufzuhellen, vermag auch die Wissen- 

 schaft nicht; was nachher noch an Betrug auf dem 

 weiten Gebiete der Kräfte -und der Erscheinungen 

 übrig bleibt, kommt auf Rechnung des Satzes: 

 Mundus vult decipi. 



Litteratur-Verzeichniss. 



/Abkiirzuugeu iu Uebereiustiuimuug mit dem „.luhrbucli üb. d. Fort- 

 scliritte der Mathematik".) 



>) Gauss. Briefwechsel mit Schumacher II, 2G9, 431; V, 47. 



-) Bolyai. Tentamen juventuteni stuil. in elementa math.... 

 introducendi. Maros Vasarbelyini 1831. I Appendix. 



^) Lobatschewsky. Geometrische Untersuchungen zur 

 Theorie der Parallellinieu. Berlin 1840. 



*; Riemann. Lieber die Hypothesen, welche der Geometrie 

 zu Grunde liegen. Gott. N. XIII. (1867.) 



^} Helmholtz. lieber die Thatsachen, welche der Geo- 

 metrie zu Grunde liegen. Gott, N. XIV. (1868.) 



^) Beltrami. Saggio di interpretazioue della Geometria 

 non-euchdea. Batt. G. VI. (1868.) 



'j Leibniz. Brief an Huygens. 1679. Vgl. Hankel. Theorie 

 der coniplexen Zahlensysteme. Leipzig 1867. S. 139. 



Leop. XXII. 



") Grassmann. Die hneale Ausdehnungslehre. Leipzig 

 1844. Zweite Auflage 1878. 



") In der klassischen Eutwickelungsgeschichte seiner Idee 

 (Vorrede zur Ausdehnungslehre von 1844. S. IX) heisst 

 die einschlägige Stelle: „Schon lange war es mir 

 nämlich einleuchtend geworden, dass die Geometrie 

 keinesweges in dem Smne, wie die Arithmetik oder 

 die Combinationslehre als ein Zweig der Mathematik 

 anzusehen sei, vielmehr die Geometrie schon auf ein 

 in der Natur gegebenes (nämlich den Raum) sich be- 

 ziehe, und dass es daher einen Zweig der Mathematik 

 geben müsse, der in rein abstracter Weise ähnliche 

 Gesetze aus sich erzeuge, wie sie in der Geometrie 

 au den Raum gebunden erscheinen. Durch die neue 

 Analyse war die Möglichkeit, einen solchen rein ab- 

 stracten Zweig der Mathematik auszubilden, gegeben; 

 ja, diese Analyse, sobald sie, ohne irgend einen schon 

 anderweitig erwiesenen Satz vorauszusetzen, entwickelt 

 wurde, und sich rein in der Abstractiou bewegte, war 

 diese Wissenschaft selbst. Der wesentliche Vortheil, 

 welcher durch diese Auffassung erreicht wurde, war 

 der Form nach der, dass nun alle Grundsätze, welche 

 Raumanschauuugen ausdrückten, gänzlich wegfielen, 

 und somit der Anfang ein ebenso unmittelbarer wurde, 

 wie der der Arithmetik, dem Inhalte nach aber der, 

 dass die Beschränkung auf drei Dimensionen wegfiel. 

 Erst hierdurch traten die Gesetze in ihrer Unmittel- 

 barkeit und Allgemeinheit ans Licht und stellten sich 

 in ihrem wesentlichen Zusammenhange dar, und 

 manche Gesetzmässigkeit, die bei drei Dimensionen 

 entweder noch gar nicht oder nur verdeckt vorhanden 

 war, entfaltete sich nun bei dieser Verallgemeinerung 

 in ihrer ganzen Klarheit." 



"') Grass mann a. a. 0. § 22. S. 35, 36. 



") Erdmann. Die Axiome der Geometrie. Leipzig 1877. 

 Siehe hierüber des YÜ. Schrift: Hermann Grassmann, 

 sein Leben und seine Werke. Leipzig 1878. S. 20. 



") Kronecker, üeber Systeme von Funktionen mehrerer 

 Variableu. Berl. Monatsber. 1869. S. 159 u. 688. 



") Beez. Ueber das Krümmungsmaass von Mannichfaltig- 

 keiten höherer Ordnung. Math. Ann. VII, 387 (1874); 

 Schh.milch Z. XX. 423 (1875); XXI, 373 (1876); 

 XXIV, 65 il879). 



") Lipschitz. Untersuchungen in Betreff der ganzen 

 homogenen Funktionen von n Variablen. Crelle's J. 

 LXX. 71 (18691 ; LXXII. 1 (1870). — Entwickclung 

 einiger Eigenschaften der quadratischen Formen von 

 n Differentialen. Crelle's J. LXXI. 274 (1870). — 

 Untersuchung eines Problems der Variationsrechnung. 

 Crelle's J. LXXIV. 116. — Extension of the planet- 

 problem to a space of n dimensions and of constant 

 integral curvature. Quart. J. XII, 349 (1873). — Aus- 

 dehnung der Theorie der Minimaltiächen. Berl. Mo- 

 natsber. 1872; Crelle's J. LXXVIII, 1. — Geuerah- 

 sation de la theorie du rayou osculateur d'une surface. 

 Crelle's J. LXXXI, 295; CR. LXXXII. 160. 218. — 

 Beitrag zur Theorie der Krümmung. Crelle's J. 

 LXXXI. 2:30 (lö76i. — Bemerkungen z. d. Princip des 

 kleinsten Zwanges. Crelle's J. LXXXII. 316. 



'") Christoffel. Ueber die Transformation der homogenen 

 Ditferentialausdrücke zweiten Grades. Crelle's J. LXX, 

 46 (,1869). 



^'') Betti. Sopra gh spazi di un numero qualuuque di 

 dinieusioui. Brioscüi Ann. (2) IV, 140 ilS71). 



") Lie. Ueber diejenige Theorie eines Raumes mit beliebig 

 vielen Dimensionen, die der Krümmungstheorie des 

 gewöhnlichen Raumes entspricht. Gott. N. 1871, 191. — 

 Zur Theorie eines Raumes von n Dimensionen. Ibid. 535. 



") Jordan. Essai sur la geometrio ä n dimensions. 0. R. 

 LXXV, 1614 (1872); Bull. S. M. F. III, 103. — Sur 

 la theorie des courbes dans l'espace ä n dimensions. 

 Ibid. LXXIX, 795. — Gtineralisation du theoreme 

 d'Euler sur la courbure des surfaces. Ibid. 909 (1874). 



'") Schläfli. Ueber invariante Elemente einer orthogonalen 

 Substitution. Crelle's J. LVI, 185; LXV, 187. 



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