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Tan^r. 5_l. -^p— j;^^, 



ou R est le rayon de la sphere oseulatrice; r le rayon du cercle 

 osculateur ou de premiere courbure; p le rayon de flexion ou 

 deuxieme courbure, lequel est egal comme on sait au rapport 



— : M 6tant Tangle des deux plans osculateurs consecutifis , et 

 ds 



ds I'el^ment de la courbe. 



Cetle determination de la deviation des courbes k double 



courbure complete une theorie de la deviation dans les courbes 



planes et dans les surfaces, qui a ete soumise en 1840 au juge- 



ment de 1' Academic des sciences de Pai'is , et ins^ree par extrait 



dans le Journal dematlicmatiques, de M. Liouville, pour 1841 . 



Seance du 12 ao^t 4848. 



Geometrie analytique. — M. Bonnet communique la de- 

 monstration suivante du theoreme de Meunier , d'apres lequel 

 i'helicoide gauche est de toutes les surfaces gauches la seuie 

 qui ait en chacun de ses points ses deux rayons de courbure 

 principaux 6gaux et de signes contraires. 



Supposons ie problerae resolu et considerons sur la surface 

 trouvee, en meme temps quelrs generatrices rectiiignes , leurs 

 trajectoires orthogonales; d'abord ces lignes seront eqiiidistan- 

 tes entre elles et auront en chaque point ieur plan osculateur 

 tangent a la surface , c'est ce que Ton reconnait ais«ment. 



Cela pose, prenons trois generatrices rectiiignes infiniment 

 voisines ; soieut mm' etm'm'Mes deux elements qu'elles dctermi- 

 nent sur uire premiere trajectoire orthogonale et nn', n'n" les 

 deux elements qu'elles determinent sur une seeonde de ces li- 

 gnes tout-a-fait quelconque par rapport h la premiere; si Ton 

 exprime, comme cela doit etre, que la normale a la surface au 

 point n est perpendiculaire a n'n" ou trouve que Tangle de mm' 

 avec nn' est egal a Tangle de m'm" avec n'n" ; d'ailleurs le pre- 



mier de ces angles a pour tangente-- ■,, en appelant r et R 



R(r — mn) 



les rayons de premiere et de seeonde courbure de la premiere 



trajectoire orthogonale au point m, De 1^ on conclut que cette 



