Douveaux rapprochements, etde nouvellessubstituiions de d^- 

 moostrations aux clioses demoutrees que I'on iuvoquait encore 

 comme lemmes, amenent de nouvelles suppressions, dontou est 

 souvent tout etonne; et I'on obtienl finalement, apres un travail 

 qui n'est qu'une affaire de temps el de p;itience, la demonstra- 

 tion la plus simple du theoreme, au nioins parmi celles qui se 

 basent directement sur les premiers principes, et qui, a egale 

 brievete, sont toujours tres preferables aux autre?. 



■> Rien u'empec-he, eQSuite,de grouper en lemmes, communs k 

 d'autres demonstrations*une partie des raisonaements doot elle 

 se compose. On aura, aiusi, les di^monstrations les plus simples 

 et les plus directes parmi celles qui, pourabreger, invoquent des 

 verities deja demonlrees. 



» On se convaincra bienlot que, sauf ce qui peut etre atlribue 

 ^ I'imperfection du langage , tout theoren:ie simple est suscep- 

 tible d'etre d^montre simplenient. 



» Quelqucfois les demonstrations qu'on veut reduire ainsi se 

 basent sur des theoremes analytiques, tels par exfenipleque celui 

 qui etabiit la possibilite d'intervertir I'ordre de ia differentia- 

 tion d'une fonctionpar rapport a ses deux variables, etc. On ne 

 doit pas, pour cela , changer de melhode. En substituant tou- 

 jours a ces theoremes ieurs demonstrations, et en les traduis:»nt 

 g^ometriquement, s'il s'agit de geometric, on verra les reduc- 

 tions s'operer. 



» Divers moyens se presentcront, Bu reste, d'abreger les re- 

 chorches. Ainsi, quand onconnail, chi meme theoreme, plusieurs 

 demonstrations qui s(Wb!eiit ties differences, la recherche de ee 

 quelles ont de eomiTiuh ;m fond seia un bon moyen d'arriver 

 au but propose. 



X Lc maximum de simpliiite sera altdni, dans tons It'scas, 

 quand les demonstratioj-s truuvees se reduiront a delinir les 

 grandeurs entre iesqueiles hs theoremes a demontrer etablisscnt 

 des relations, et a tirer la consequence immediate de ces defiiii- 

 'tio'us et fies principes connu's.Oii ne sauiait cvoire eomhien de 

 demonstrations peuvent etre amenees la, lor^que les definitions 

 sont bien faites. Ou ptut meme, reciproquement, y trouver des 

 indications utiles poar rectifier les defiaitioos. » 



