DES NOMBRES EMIERS. 251 



des autres, a la maniore ordinaire, pla^otis en regard de 

 chacun d'eux, le reste qui lui correspond, puis, faisons la 

 somme des nombrcset celle des resles, et extrayons de cha- 

 cune d'elles, le plus'grand niultiplede c?qu'ellesrenfernient, 

 je dis que si les operations sont exactes, las deux nombres 

 seront identiques. 

 On a en effet : 

 N=M.(/+r; N'=M.rf+r'; N"=M.(i+r"; N"'=M.rf+r"'.. 

 Parsuile: {N+N'4-N"+N"'+..)=rM.rf+r+r'4-r"+r"' .... 

 Done: N±NVN:M:N:^^ ^ ,j _^ r+r^-\-r:'i r'" ...... 



d ^ d 



Egalite qui justifie la proposition que nous avons ([-noncee. 

 La preuve de la soustraction s'executerait de la m^me 

 maniere; seulement, on rclrancherait les restcs I'un de 

 I'autre, au lieu de les ajouler. Si le chiffre du reste inferieur 

 I'emportait sur le chiffre du reste sup^rieur, on augmenterait 

 ce dernier du multiple de d suffisant pour rendre la sous- 

 traction possible. 



Preuve de la multiplieation. — N ct N' etant les deux 

 nombres a multiplier I'un par I'autre; d le diviseur, r et r' 

 les restes, on aura : N' == M rf j- r ; N' = M rf -f r'; par 

 suite : N X N' = (M cf + r) (M rf + r') = m dj-rr'. 



N X N' r r' 



Done — -J — = M -f — T- On conclut, de celte derni^re 



egalit6, la rfegle suivante : « Pour faire la preuve d'une mulli- 

 » plication au moyen d'un diviseur d, quand on connait les 

 » caractfires de divisibilit6 qui lui sont relatifs, on commence 

 » par extraire du multiplicande et du multiplicateur le plus 

 » grand multiple de d qu'ils renferment; on multiplie les deux 

 » resles I'un par I'autre et on extrait de leur produit le plus 

 » grand multiple de d qui y est conlenu. Si le reste est 

 » identique a celui qu'on trouveraiten extrayant le plus grand 

 » multiple de d renferm6 dans le produit des deux nombres 

 » donn6s, on en conclut que ce produit est exact. » 



