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MllONSTRATlON DE DECX THÉORÈMES DE GÉOMÉTRIE , 



par 11. Crova. 



professeur de malhêmaliques spéciales au collège de Perpignan. 



Théorème 1. — Les milieux des cordes iniercep- 

 tées par une ligne du second ordre, sur des droites 

 issues d'un même point, sont sur une autre conique 

 qui lui est homolhélique et qui passe par le point 

 dont il s'agit. 



Démonstration. — Soit pris le point donné pour ori- 

 gine des coordonnées auxquelles nous supposerons 

 d'ailleurs une direction quelconque, et soit alors 

 l'équation de la courbe supposée 



A^2-fB;2_|-2Cx>-|-2Dx+2Ej+F;-=o. (1). 



Soit alors j=mx l'équation de l'une des droites 

 dont il s'agit; on obtiendra les coordonnées de ses 

 points d'intersection avec la courbe, en considérant 

 leurs équations comme celles d'un même problème 

 déterminé, ce qui, en éliminant/ entre elles, don- 

 nera, pour avoir les valeurs de x qui répondent à ces 

 intersections, l'équation du second degré, 



(A4-B/7i2-f-2G/n)x2-f2(D-j-E/«):r+F=o. 



Si l'on représente par x la valeur de x qui répond 

 au milieu de la corde interceptée, cette valeur sera, 

 comme l'on sait , la demi-somme des valeurs de x 

 données par cette équation. Or, dans une équation 

 du second degré, sans coefficient à son premier terme, 

 le coefficient du second terme, pris en signe con- 

 traire, est égal à la somme des racines, d'où l'on voit 



qu'on aura 



D-f-Effz 





A-j-Bw2-f2Cw 



