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Dcmonsiration du piinci|ie fondamental de la Irigonomélrie spliérique , 



par 11. Crova, in-ofesseur de inathcruatiques spéciales. 



On a rhabiiude de démontrer le principe de la 

 uigononiélrie sphérique, pour un cas particulier, et 

 d'en établir la généralité par une discussion plus ou 

 moins longue. J'ai pensé qu'une démonstiation di- 

 recte, applicable à tous les cas, ne serait pas déplacée. 



Soit le centre d'une splière, sur larpielle esi tracé 

 le triangle quelconque ABC. Je mène les rayons OA, 

 OB, OC et les cordes AB, BC et AC; je trace, sur 

 OA, les perpendiculaires AE et AD, l'une dans le 

 plan AOB et l'autre dans le plan AOC Si, du centre 

 de la splière, on mène les perpendiculaires 01 et OK 

 sur les cordes AB cl AC, il est évident qu'elles ren- 

 contreront toujours les tangentes AD et AE. 



Cela posé, dans le triangle DOE, on a : 



DE^=C)Ë'-i-0D'^-20E. OD Cos. DOE. 

 Le triangle DAE donne pareillement: 



î5Ë'=AË!-f AD2-2AD. AE Cos. A. 

 Soustrayant la seconde équation de la première, et 

 divisant par 2, on obtient : 



1+AD. AECos A. = DO. EO Cos. DOE, 

 ou bien : 



Cos. '-hCQS.lc-{-S\n.lb Sin. '-cCus,A = Cos DOE 

 iangle lOK on obtient: 



rn^2_l_nî^_TK^ Cos.^^/.-J-Co.s.^^r-Sin.2i« 



Dans le triangle lOK on obtient 



cos.DOE=9^!±2Lz:l^-:=. 



20K.0I 2Cos.^Z.Cos.^o 



Substituant dans Téquation précédente, remplaçant 



Cos.^iiparl+^ffl^ 



et faisant les réductions qui se présentent, on obtient 

 la formule fondamentale : 



Cos. Âj=Cos. b Cos. r-|-Siii. h Sin. c Cos. A. (T\ lu phuichrjt 



