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twes à T admettent une intégrale du seeond degré, s'il existe un système (S') 

 correspondant à (S). 



Après la publication de ce théorème, M. Liouville a démontré une pro- 

 position qui le complète dans le cas particulier où les forces sont nulles dans 

 S et S' : « Quand les géodésiques relatives à T et à T' coïncident, leurs 

 équations admettent non seulement une intégrale, mais, en général, un sys- 

 tème complet d'intégrales du deuxième degré ». Au sujet de cette remar- 

 quable proposition, je ferai observer que, s'il est incontestable que 

 M. Liouville y soit parvenu de son côté, elle ne se trouve toutefois indi- 

 quée dans aucune de ses Communications antérieures. 



» Si l'on considère alors un système (S) où les forces dérivent d'un 

 potentiel U, les trajectoires, pour chaque valeur de la constante des forces 

 vives h, coïncident avec les géodésiques relatives à la force vive 



T, = s/U -+- hT. 



On peut chercher si les équations de ces géodésiques admettent, quel que 

 soit A, des correspondantes : M. Liouville arrive aussitôt à cette conclusion 

 que, quand il en est ainsi, elles admettent un système d'intégrales du 

 deuxième degré. C'est là, dit-il dans sa Note du 25 avril, le théorème de 

 M. Painlevé (et même un théorème plus complet) dans tous les cas où les 

 forces du système (S) dérivent d'un potentiel. En réalité, mon théorème 

 ne coïncide pas avec le précédent; il est même en contradiction avec lui, et 

 cela s'explique par la raison bien simple que la question traitée par M. Liou- 

 ville est essentiellement distincte de celle que je me suis posée. 



» Cette différence éclate à première vue : la correspondance que j'étudie 

 établit une corrélation entre deux systèmes matériels soumis à certaines 

 forces et dont les trajectoires (pour des conditions initiales quelconques) 

 coïncident analytiquement. Dans la correspondance de M. Liouville, à 

 chaque valeur de h correspond une force vive T' qui varie avec h. Toutefois, 

 on peut se demander si, dans certains cas, les deux problèmes ne sont pas 

 susceptibles de se confondre. J'ai montré en toute rigueur que cela est 

 impossible du moment que les forces ne sont pas nulles. L'affirmation de 

 M. Liouville qu'il avait démontré et complété mon théorème dans tous les 

 cas où les forces de (S) admettaient un potentiel était donc erronée : le seul 

 cas où il avait traité la question était celui des géodésiques. 



» Dans une Note du 12 septembre, M. Liouville s'est occupé d'un pro- 

 blème qui est absolument différent de celui qu'il avait traité précédemment 

 et qui rentre comme cas très particulier dans celui que j'avais traité. Ce 



