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problème consiste à étudier moyennant quelles conditions deux systèmes (S) 

 et (S') à potentiels sont correspondants. J'insiste sur le caractère restreint 

 de la question : quand un système (S) à potentiel admet un correspon- 

 dant (S'), (S') n'est pas en général un système à potentiel. Mais, même dans 

 le cas très exceptionnel dont nous parlons, M. Liouville n'est pas encore arrivé 

 à retrouver par sa méthode le théorème que j'ai établi. La démonstration qu'il 

 en a donnée dans sa Note du 12 septembre est inexacte parce qu'elle 

 suppose que les trajectoires de S, pour une valeur quelconque donnée de 

 la constante des forces vives A, coïncident avec les trajectoires de (S') pour 

 une valeur correspondante, de la constante des forces vives h'. J'ai montré 

 que ceci est impossible, sauf pour des valeurs particulières de h, lesquelles 

 d'ailleurs n'existent pas en général. Pour bien faire voir que le raisonne- 

 ment de M. Liouville est inadmissible, j'ai même cité un exemple très simple 

 de deux systèmes à deux paramètres où ce raisonnement est en défaut. 



» M. Liouville, dans une Note du 3 1 octobre, reconnaît que cet exemple 

 échappe, en effet, à sa méthode. Mais, dit-il, une circonstance analogue ne 

 peut plus se présenter dès que lenombrek des paramètres dépasse 2. Autrement 

 dit, pour £>> 2, à une valeur quelconque donnée de h correspond une 

 valeur déterminée de h! . Cette affirmation est encore inexacte. 



» Tout d'abord, si elle était vraie, elle entraînerait, d'après ce qui pré- 

 cède, une conséquence singulière : c'est que, pour k^>i, il ne saurait 

 exister de systèmes (S) et (S') à potentiels correspondants. En réalité, il 

 en existe une infinité, et c'est la proposition justement inverse de celle de 

 M. Liouville qui est la vraie : jamais, comme je l'ai dit, à une valeur arbi- 

 trairement donnée de h, ne correspond une valeur constante de h'. D'ail- 

 leurs, il est bien facile de former une foule de systèmes qui démentent 

 l'affirmation de M. Liouville; je me bornerai aux suivants qui ont leurs 

 analogues pour k quelconque : les systèmes (S) et (S'), où l'on a 



T = x' 2 ^-y 2 -hz' 2 , U=yz-hh 

 et 



T ' = i [• t ' 2 ( i +^- 2 + 4 #) +y 2 * 2 + =-' 2 - ^yvy-^f 1 ] > 



sont correspondants (les trajectoires sont des paraboles d'axe parallèle à 

 O^), et à chaque valeur de h (finie ou infinie) correspondent toutes les 

 valeurs de h'. 



