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GÉOMÉTRIE. — Sur le heu du centre des moyennes distances d'un point d'une 

 épicycloïde ordinaire et des centres de courbure successifs qui lui corres- 

 pondent. Note de M. G. Fouret, présentée par M. Haton de la Gou- 

 pillière. 



« M. Haton de la Goupillière, dans une Communication récente ('), a 

 fait connaître des formules générales qui, pour une courbe plane quel- 

 conque définie par son équation intrinsèque, déterminent, par rapport à 

 la tangente et à la normale en chacun des points de cette courbe, les 

 coordonnées du centre des moyennes distances des centres de courbure 

 correspondants de ses développées successives. Il en a conclu, comme 

 exemple particulier, que, dans le cas d'une épicycloïde ordinaire, les 

 coordonnées normale et tançentielle de ce centre des movennes distances 

 sont respectivement proportionnelles aux rayons de courbure de la courbe 

 et de sa première développée. 



» On peut déduire du résultat obtenu par M. Haton que le lieu d'un pa- 

 reil centre des moyennes distances est une épicycloïde, en général 

 allongée ou raccourcie. On y parvient aisément en s'appuyant sur un 

 théorème, d'une certaine importance dans l'étude des propriétés géomé- 

 triques des épicycloïdes, que j'ai fait connaître il y a quelques années ( 2 ). 

 Ce théorème peut s'énoncer ainsi : 



» Lorsque des points affectés de masses quelconques, positives ou négatives, 

 décrivent, dans un plan, des épicycloïdes ordinaires du même genre (ordinaires, 

 allongées ou raccourcies}, de façon que les angles d'anomalie qui leur corres- 

 pondent croissent simultanément de quantités égales, leur centre de gravité dé- 

 crit dans le plan une épicycloïde du même genre et suivant la même loi. 



» Le centre du cercle fixe de celte épicycloïde est le centre de gravité des 



itiasses des points décrivants transportées respectivement aux centres des cercles 



fixes des épicycloïdes correspondantes . La même relation de position a lieu entre 



les centres des cercles mobiles et entre les points de contact des cercles générateurs 



de ces épicycloïdes . 



» On entend ici par épicycloïdes (extérieures ou intérieures) du même 

 genre celles dans lesquelles les rayons des cercles générateurs sont dans un 

 même rapport, et, par angle d'anomalie d'une épicycloïde, l'angle, compté 



(') Séance du 21 novembre dernier; p. 856 à 861 du présent volume. 



( 2 ) Bulletin de la Société Philo mathique, année 1868; p. 80 à 94. Théorème XI. 



