( 788 ) 

 à-dire qu'il n'existe aucune relation linéaire telle que 



où les coefficients 1 et (/. sont des constantes, dont une au moins n'est pas 

 nulle. Cela posé, considérons le système d'équations 



( «<'"> (x , , y ,)+...+ u« (x B , y„) = u, (i=\,i,...,p) 

 ( 2 ) . n = p + ri, 



\ w™ (x „ y <)-*-...+ w u) (x tt ,y n ) = Wj 0"=i.a.-»?) 



qui définissent les ra points analytiques (a? t , y,), ..., (a? B , _y„) en fonction 

 des 7i variables indépendantes u h Wj. Le problême de l'inversion, ainsi géné- 

 ralisé, se ramène au problème de l'inversion ordinaire des intégrales de pre- 

 mière espèce, et à la résolution d'un certain nombre d'équations, en général 

 transcendantes, d'une forme simple. 



» Choisissons sur la surface de Riemann T, qui correspond à l'équa- 

 tion (i), n-hp points particuliers, (*,,/,), ..., (s n+p , t„+ p )\ la fonction 

 rationnelle la plus générale du point analytique (x,y), qui est partout ré- 

 gulière sur la surface T, sauf en ces n -+- p points qu'elle admet comme 

 pôles du premier ordre, dépend de n -\- i coefficients arbitraires, si les 

 points (s, t) n'ont pas été pris d'une façon particulière, ce que nous sup- 

 posons. Cette fonction sera donc de la forme 



<t>, (x, j)'étant un polynôme parfaitement déterminé, et $ {x, y) un poly- 

 nôme qui contient d'une façon linéaire et homogène (n -h i) coefficients 

 indéterminés A , A,, .., A„. Sur la surface T, il y aura n -+■ p zéros de 

 F (x, y), les points de rencontre des deux courbes f= o, $ = o qui n'ap- 

 partiennent pas à la courbe <ï>, = o. Désignons par 



0,,v,). ••■» (n n ,y n ), O',,/,), ••■» Op.rp) 



ces n ■+- p zéros; nous allons chercher à déterminer les coefficients A , ..., 

 A„ de façon que n de ces zéros vérifient les équations (2). Le théorème 

 d'Abel, appliqué aux intégrales de première espèce, nous donne d'abord 



fi p n+p 



2« w (**,r*)+Z«« w «.y*}=2« <<, ('i.«i)= M i (*=i»a p), 



1 1 L ' 



le signe == indiquant une égalité à des multiples près des périodes et M, 



