( 79 1 ) 

 esl que lotîtes les racines de l'équation F(.r') =a o aient an module inférieur à i. 



» 2° Lorsque cette condition esl remplie, la somme de la série S est néces- 

 sairement égale à zéro. 



» La démonstration de ce double théorème fait l'objet d'un petit Mé- 

 moire qui paraîtra prochainement : je ne m'y arrêterai donc pas ici. Toute- 

 fois je crois devoir signaler une proposition très générale dont un cas 

 particulier est utilisé dans cette démonstration, cette proposition étant 

 susceptible d'applications à d'autres genres de questions. 



)> Soit 



$(#) = x 1 ' — a x p ~' — a { x l '~ 2 — . . . — a r _, 



le premier membre de l'équation génératrice d'une suite fondamentale (') 

 définie par l'échelle de récurrence 



et les termes initiaux u = o, u t = o, . . , u p _ 2 = o, u p _, = i. 



» Représentons d'une manière générale par u l n les termes de la suite 

 fondamentale définie par l'échelle 



< = < '<'„-, + «X-, -+-• • + «;„-X-„' 



dont l'équation génératrice a pour premier membre 



ffi(œ ) = xP> — a\x"r-< - a \ x p r 2 — ... — «£_,. 



$(x)=m l (x)y i (x).. .<? m (œ), 



» Si l'on a 

 ce qui suppose 



O, +p, + ... + p m =p, 



un terme quelconque de la série (u) se déduit des termes des séries («'), 



(') J'ai fait voir [Nouvelles Annales de Mathématiques, p. 80 (1884 ) et p. 94(1890)] 

 que l'étude d'une suite récurrente quelconque se ramenait à celle de la suite fonda- 

 mentale de même échelle. La notion de suite fondamentale proposée pour la première 

 fois dans la première de ces deux Notes a été introduite dans sa Théorie des nombres 

 par Ed. Lucas qui reproduit (p. 3o3) la formule que j'ai donnée pour le passage d'une 

 suite fondamentale à une suite quelconque. Il faut, pour éviter toute confusion, re- 

 marquer qu'à l'endroit cité Lucas a interverti le rôle joué dans mes diverses Notes 

 par les lettres u et U. 



