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 (h 2 ), .... ('« m ) parla formule (') 



U n+p~i ~ ^ ll ",+p,-l 11 n.+p.-l • • • U n m +p, n -l' 



le signe Vs'étendant à toutes les combinaisons possibles des indices n, 



n.,, . . ., /(,„ telles que 



n, -4- 11;,-+-. . .-h n m = n. 



» En particulier, si m = 2, 



u„ +p - t = u pi _ l u 2 n+p ._ l + UpUl+^-h. . .+ u^p^u*. -+- i£^_i«£_,. » 



MÉCANIQUE. — Sur les équations de la Dynamique. Note de M. R. Liouvillk, 



présentée par M. Poincaré. 



« Je suis obligé, bien malgré moi, de répondre quelques mots aux 

 observations nouvelles de M. Painlevé. 



» Dans mes Notes précédentes sur ce sujet, l'étendue des questions 

 traitées et la nature des résultats obtenus ont été, je crois, suffisamment 

 mises en lumière pour qu'il soit inutile d'insister encore sur ces points. 



» Je passe aussi sur la contradiction qui existerait, suivant M. Painlevé, 

 entre deux propositions, d'ailleurs incontestées l'une et l'autre, parcelle 

 raison bien simple que les questions traitées sont essentiellement distinctes. 



» Mais, à côté d'autres résultats contenus dans ma Note du 12 sep- 

 tembre dernier, se trouvait indiqué un théorème que M. Painlevé déclare 

 inexact, et auquel il a cru pouvoir opposer un exemple (Comptes rendus, 

 10 octobre 1892). J'ai fait observer que cet exemple, comme tous ceux où 

 le nombre des variables ne surpasse pas 2, ne peut être opposé au théorème 

 dont il s'agit, puisqu'il y satisfait évidemment. 



» En revenant sur ce sujet, le 7 novembre, M. Painlevé affirme qu'il 

 est facile de former une foule de systèmes à plus de deux variables, qui 

 démentent, dit-il, l'affirmation de M. Liouville. 



« Dans cette foule, M. Painlevé a choisi le suivant 



(l) T = œ'°- -+- / 2 + z'\ \]=yz-+-h % 



(') Cette formule résulte du rapprochement de deux formules que j'ai fait con- 

 naître précédemment dans les Nouvelles Annales de Mathématiques, 3 e série, t. III, 

 p. 77 [formule (22)] et t. V, p. 208 [formule (4)]- 



