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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les équations différentielles linéaires ordi- 

 naires. Note de M. Jules Cels, présentée par M. Darboux. 



« Etant donnée une équation différentielle ordinaire, je me propose de 

 définir d'une façon nouvelle l'adjointe de la première ligne ('). J'indi- 

 querai ensuite une propriété caractéristique des équations équivalentes à 

 leur adjointe de la première ligne. 



» J'ai été guidé par la belle méthode employée par M. Darboux pour 

 étudier les équations de degré impair équivalentes à leur adjointe de 



LagrangeC). 



» Soit une équation différentielle linéaire ordinaire, que je mets sous 

 la forme 



(r) f(z) = ^ + a,^'+a 2 ^"+.. . -+- a n z w — o, 



a,, a 2 , ..., a n , désignant des fonctions quelconques de x et les indices 

 supérieurs étant des indices de dérivation. 



» L'adjointe de la première ligne a pour équation ( 3 ) 



O) <p(r)=7-«.y+^(«2/) + ■••+(- i )"^=î(«»y)= < >- 



On trouve facilement 



(3) /[//(*) + ;'?(/)] d* = it(z,y), 



i/ (z,y) étant une fonction où figurent z et y ainsi que leurs n — i pre- 

 mières dérivées 



\ (*>y) = *r + *' [«*/ - ^ («i/) + ••• + (- O"" 2 -^ (a n /)] 

 -hz^aW. 



(') Cels, Comptes rendus, i5 juillet 1890. 



( 2 ) Darboux, Leçons sur la théorie générale des sur/aces, t. II, p. 99 et suivantes. 



( 3 ) Ci:ls, Annales de l'Ecole Normale supérieure, année 1891. 



