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 » Il est d'ailleurs facile d'effectuer les intégrations, et l'on trouve 



k(m*+iy 



\ k{m- ■+• 1) + 2m 



m k+{ 



1 (m 2 — i)sin£- — 2mcos^ 



j']A(i»* + i)r- m*(m 2 -i) 



(m 2 — i)cos/t- -H 2TOsin^- ] 





» Nous pouvons également rapporter le lieu géométrique du centre G k 

 à des coordonnées polaires r, 0, ce qui donne pour son équation 



k(m- + i) 



l 2k + 2/M*COSÀ-- 



| ( 27rtH-m fe | (m*— I)sin* - — 2mcosA- — J | 

 m I 0+urc lynyni— arc lang \ =— " ^ ) I 



TU BT T I I 



I I m* — H-m* I f/n 3 — 1) cosA — h2msin/.— ) I 



» 4. Envisageons comme second exemple les épicycloïdes extérieures 



ou intérieures 



d'p i . ( .it\ 



p = sinmw, -pj = m'sinl »2k> + i - y 



» Si l'on effectue les intégrations qui figurent dans l'expression de //,, 

 on voit apparaître, d'une part, divers ternies en sinw, cosw, m sino>, w cosw, 

 que l'on peut supprimer en les confondant par la pensée dans ceux qui 

 sont affectés des coefficients provisoires A, B, C, D; et, en second lieu, des 

 multiples de cosmto et sinmeo. Ce dernier disparaît spontanément, se trou- 

 vant multiplié par sinX:?:, et il ne reste que le terme en cosmu. Or celui-ci 

 s'annule à tous les sommets de la courbe, que l'on traverse en nombre in- 

 fini (') pour les diverses valeurs a> = " ~ " • En ces points, oit doit 



d'ailleurs avoir identiquement t k = o, car tous les centres de courbure suc- 

 cessifs (et, par suite, aussi leurs centres de moyennes distances) sont ali- 

 gnés le long de la normale. Il est donc nécessaire que les quatre constantes 

 A, B, C, D soient individuellement nulles; et il ne reste plus définitive- 



(') Même dans les épicycloïdes composées d'un nombre limité de branches, que 

 l'on parcourt indéfiniment quand w varie de — oo à -+- oo. 



