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» La solution du problème ainsi posé peut être rattachée à la méthode 

 de M. Darboux concernant la valeur approchée des fonctions de très 

 grands nombres {Journal de Mathématiques pures et appliquées, 1878). Celte 

 méthode permet, comme on sait, de déterminer la valeur asymptotique 

 des coefficients de la série de Laurent (Flamme, Thèse de doctorat, Paris, 

 Gauthier-Villars, 1887) ('). On peut aussi l'appliquer à la recherche des 

 coefficients du développement des fonctions de deux variables, en em- 

 ployant un artifice imaginé par M. Poincaré (H. Poincaré, les Nouvelles 

 méthodes de la Mécanique céleste'). 



» La présente Communication apporte quelques compléments aux 

 recherches de M. Poincaré sur le développement approché de la fonction 

 perturbatrice (loc. cit.). 



» La marche suivie est fondée sur une importante application que 

 M. Darboux a faite de sa méthode, savoir l'évaluation approchée des inté- 

 grales dont l'élément différentiel dépend d'un facteur élevé à une haute 

 puissance. Le résultat auquel est arrivé M. Darboux, établi en toute ri- 

 gueur, complète et confirme celui de Laplace (Calcul des probabilités). 



» Les opérations à exécuter pour déterminer les inconnues du problème 

 sont indiquées clans le Tableau de formules qui suit (à et a" sont les rayons 

 des orbites et I leur inclinaison) : 



a P — 1 



f) = - , q 



r ( e_ I )cos^-h(9 + i)sin lI -l-+-4/(8'--i) 2 + 4'7 29 (6 + i) 2 sin- - _(0-i)-cos» \ j 



J- — 1 — iq 



~ iq 



I " * _!_ / U ' 



(0 zz= + V s~ï^ï + « v ^ _ *' 



4- si 8<cosI 

 — si 6 > cos f. 



<f(z) = q. 



,8 



znn- 1 cos 2 - 



2 3 2 



+ V /l_,/J- i sin2I ('"0" 



/,(*)=[i-f'-f-în»l(«-i)"]~ ' Ka) . 



(') Voir aussi Hamy, Comptes rendus, 1" semestre 1892. 



