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 la composition des quatre groupes, l'autre aux relations qui existent entre 

 eux : 



m Théorème II. — Si le nombre n est de l'une des formes 4v ou [\v -+- i , 

 les permuta lions qui composent un même groupe quelconque sont deux à deux 

 inverses, deux à deux symétriques l'une de l'autre. 



» Théorème III. — Si le nombre n est de l'une des formes 4 V + 2 ou 

 4v -l- 3, les permutations composant l'un quelconque des deux groupes d'une 

 même espèce sont, chacune à chacune les inverses, chacune à chacune les symé- 

 triques des permutations qui composent l'autre. 



» Contrairement à ce qui a lieu pour le théorème I, les théorèmes II et 

 III sont vrais quelle que soit la valeur attribuée à n. 



» 4. Parmi les permutations des n premiers nombres, la plupart ont 

 chacune, pour inverse et pour symétrique, deux permutations différentes : 

 ce sont les permutations ordinaires. Mais il en est dont l'inverse et la symé- 

 trique se confondent : ce sont les permutations singulières. Ces dernières 

 sont fort rares, comme le montre le théorème que A r oici : 



« Théorème IV. — La probabilité x, pour qu'une permutation, prise au 

 hasard parmi les permutations des n premiers nombres, soit telle que son 



inverse et sa symétrique coïncident, est donnée parla formule x = — ^ — p .> 



dans laquelle i désigne le plus grand entier impair, non supérieur à n. 



» Combien les différents groupes contiennent-ils de ces permutations 

 singulières? Voici la réponse à cette nouvelle question : 



)> Théorème V. — Les deux groupes répondant à la première espèce ne 

 contiennent, ni l'un ni l'autre, aucune permutation singulière . 



» Théorème VI. — Les deux groupes répondant à la seconde espèce con- 

 tiennent tous les deux des permutations singulières, et ils en contiennent autant 

 l'un que l'autre. 



» Ces deux derniers théorèmes ne dépendent, d'ailleurs, ni de la 

 grandeur, ni de la forme du nombre n. 



» 5. Evidemment, si deux permutations sont inverses l'une de l'autre, 

 leurs symétriques le sont aussi; si deux permutations sont symétriques 

 l'une de l'autre, leurs inverses le sont aussi. 



m II s'ensuit que les permutations des n premiers nombres se réunissent, 

 en général, quatre par quatre, pour former des assemblages dans chacun 

 desquels les quatre permutations sont deux à deux inverses et deux à deux 

 symétriques. Il existe toutefois un cas exceptionnel, où les quatre per- 

 mutations de l'assemblasie se réduisent à deux, à la fois inverses et svmé- 



