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 données et coefficients différentiels d'une multiplicité d'éléments infinité- 

 simaux de lignes ou de surfaces, distribués arbitrairement dans l'espace. 

 La transformation se réduit aussi à des relations entre les coordonnées et 

 coefficients différentiels d'une multiplicité d'éléments analogues apparte- 

 nant, les uns à la figure primitive, les autres à la figure transformée. Dans 

 l'espace à deux dimensions, si un élément unique de la première figure 

 est lié à un élément de la seconde, ces relations sont de la forme 



f(x,y,y',y", . ...y", X, Y, Y', Y", .. ., Y N )= o; 



l'invariant est fonction des a;,, y h y\ , y], . .. d'une multiplicité d'éléments 

 courbes. Tout groupe fini admet des invariants universels distincts des 

 invariants différentiels ordinaires; en outre, des groupes infinis dépourvus 

 d'invariants ordinaires ou des invariants universels. 



» Groupe ponctuel. — Tout invariant intéressant plusieurs points est 

 fonction d'invariants intéressant chacun d'eux. Un faisceau d'éléments 

 concourants doit avoir au moins deux branches pour admettre un inva- 

 riant relatif, trois pour un invariant absolu. Tout invariant ponctuel est 

 homogène en degré et en poids. Les coordonnées y manquent; les déri- 

 vées de même ordre n'y figurent que par leurs différences deux à deux. 

 Pour que y™ — y™ figure, il faut que les branches «, b aient un contact 

 d'ordre m — i. 



» Tout invariant relatif se ramène au type y™ — y™ qui se reproduit mul- 



m 4- 1 



/ dx dx \ - 

 tiplié par G ( -=- -=~- J ; G, déterminant de la transformation, est, en 



coordonnées cartésiennes, le grossissement superficiel. Pour qu'un invariant 

 soit absolu, il faut et il suffit : i° que son degré et son poids soient nuls; 

 2° que la somme du degré et du poids soit nulle pour chaque souche (en- 

 semble de branches ayant même tangente). Si la seconde règle est satis- 

 faite, l'invariant se reproduit par G p , indépendant du faisceau (invariant 

 semi-absolu). Pour qu'un invariant ne soit pas identiquement nul ou in- 

 fini, il faut et il suffit qu'en groupant ses facteurs par séries où deux termes 

 consécutifs ont un indice commun, on ne puisse former aucune chaîne 

 fermée ayant une seule maille d'ordre inférieur à celui de toutes les autres. 



» Les faisceaux ci-après ont un invariant semi-absolu et un seul : 



» i° Une souche triple invariant : 



,. = (y'"-y"')" +l . 

 (y'\-yl)"^-' 



