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PRIX DÉCERNÉS 



ANNÉE 1892. 



GEOMETRIE. 



GRAND PRIX DES SCIENCES MATHÉMATIQUES. 



(Commissaires : MM. Jordan, Poincaré, Hermite, Darboux; 

 Picard, rapporteur.) 



La question mise au concours était la suivante : 



Détermination du nombre des nombres premiers inférieurs à une quantité 

 donnée. 



Dans une Note additionnelle, l'attention des concurrents était appelée 

 sur un Mémoire célèbre de Riemann où une voie nouvelle est ouverte pour 

 traiter cette importante question. Dans ce travail, le grand géomètre in- 

 troduit une transcendante '( (s) qui joue dans son analyse un rôle capital. 

 Malheureusement plusieurs propriétés essentielles de cette fonction ne 

 sont qu'énoncées et ce sont ces lacunes que l'Académie demandait de 

 combler. 



Un des théorèmes énoncés par Riemann a été démontré il y a quelques 

 années par M. Stieltjes; ce savant analyste a établi que les racines de la 

 fonction '((Y), abstraction faite de racines réelles immédiatement obtenues, 



sont de la forme - -+- ai, a étant réel. Mais la proposition fondamentale 



pour les applications arithmétiques restait à démontrer. Dans un travail 

 sur l'approximation des sommes de fonctions numériques, notre regretté 

 confrère Halphen, ne voulant pas s'appuyer sur un théorème aussi incer- 

 tain, s'était vu obligé d'interrompre ses recherches, et il écrivait en i885 : 

 « Avant qu'on sache établir le théorème de Riemann (et il est vraisemblable 



